Question

Determine m para que a função f(x)=-5x²-(m+1).x+3

Answer 1

$f(x)=-5 x^{2} -(m+1).x+3$

$x_{\text{m\'ax}} = 3$

$y_{\text{m\'ax}} = \dfrac{-\Delta}{4a}$

$a=-5$
$b=-(m+1)$
$c=3$

$\Delta= b^{2} -4ac= [-(m+1)]^{2} -4.(-5).3=(m+1)^{2}+60$$= m^{2} +2m+1+60= m^{2} +2m+61$

$y_{\text{m\'ax}} = \dfrac{-\Delta}{4a}= \dfrac{-(m^{2} +2m+61)}{4.(-5)} = \dfrac{-(m^{2} +2m+61)}{-20}$$= \dfrac{m^{2} +2m+61}{20}$

$y_{\text{m\'ax}}=-5. (x_{\text{m\'ax}})^{2} -(m+1).x_{\text{m\'ax}}+3$

$\dfrac{m^{2} +2m+61}{20}=-5. (3)^{2} -(m+1).3+3$

$\dfrac{m^{2} +2m+61}{20}=-5. 9 -3m-3+3$

$\dfrac{m^{2} +2m+61}{20}=-45 -3m$

$m^{2} +2m+61=20.(-45 -3m)$

$m^{2} +2m+61=-900-60m$

$m^{2} +2m+60m+61+900=0$

$m^{2} +62m+961=0$

Teremos que calcular esta nova equação do 2º grau resultante:

$a=1$
$b=62$
$c=961$

$\Delta= b^{2} -4ac= 62^{2} -4.1.961=3844-3844=0$

$m= \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a} = \dfrac{-62\pm \sqrt{0} }{2.1} = \dfrac{-62\pm0 }{2} =\dfrac{-62}{2}=-31$

Finalmente, poderíamos calcular o valor máximo da função:

$y_{\text{m\'ax}} = \dfrac{m^{2} +2m+61}{20}= \dfrac{(-31)^{2} +2.(-31)+61}{20}= \dfrac{961 -62+61}{20}$$= \dfrac{961 -1}{20}= \dfrac{960}{20}=48$

Resposta: $m=-31$