Question

Como reduzo a uma só potência, sendo que as bases são diferentes?

Answer 1

1) Produto ou quociente de potências de bases diferentes, mas expoentes iguais:

$a^{n}\cdot b^{n}=\left(ab \right )^{n}\\ \\ a^{n}: b^{n}=\left(a:b \right )^{n}$

Multiplica-se (ou divide-se) as bases, e conserva-se o expoente comum.


2) Produto ou quociente de potências de bases diferentes, e expoentes diferentes:

Aqui temos que trabalhar com o conceito de logaritmo, e a lei de mudança de base para os logaritmos:


Pela definição de logaritmos, temos que

$b=a^{\mathrm{\ell og}_{a\,}b}\\ \\ a=b^{\mathrm{\ell og}_{b\,}a}$


Poderíamos ainda tranformar tudo para uma base $c$ qualquer (não necessariamente $a$ ou $b$):

$a=c^{\mathrm{\ell og}_{c\,}a}\\ \\ b=c^{\mathrm{\ell og}_{c\,}b}$


Assim, podemos escolher com que base iremos trabalhar.


Então, se transformarmos tudo para a base $a$, temos

$a^{n} \cdot b^{m}\\ \\ =a^{n}\cdot \left(a^{\mathrm{\ell og}_{a\,}b} \right )^{m}\\ \\ =a^{n}\cdot a^{m\mathrm{\,\ell og}_{a\,}b}\\ \\ =a^{n+m\mathrm{\,\ell og}_{a\,}b}\\ \\ \\ a^{n}:b^{m} \\ \\=a^{n} : \left(a^{\mathrm{\ell og}_{a\,}b} \right )^{m}\\ \\ =a^{n} : a^{m\mathrm{\,\ell og}_{a\,}b}\\ \\ =a^{n-m\mathrm{\,\ell og}_{a\,}b}$


Se transformarmos tudo para a base $b$, temos

$a^{n} \cdot b^{m}\\ \\ =\left(b^{\mathrm{\ell og}_{b\,}a} \right )^{n}\cdot b^{m}\\ \\ =b^{n\mathrm{\,\ell og}_{b\,}a}\cdot b^{m}\\ \\ =b^{n\mathrm{\,\ell og}_{b\,}a+m}\\ \\ \\ a^{n} : b^{m}\\ \\ =\left(b^{\mathrm{\ell og}_{b\,}a} \right )^{n}: b^{m}\\ \\ =b^{n\mathrm{\,\ell og}_{b\,}a}: b^{m}\\ \\ =b^{n\mathrm{\,\ell og}_{b\,}a-m}$


E, finalmente, podemos trabalhar com uma base $c$ qualquer ($c>0\;\;\;\text{e}\;\;\;c \neq 1$):

$a^{n}\cdot b^{m}\\ \\ =\left(c^{\mathrm{\ell og}_{c\,}a} \right )^{n}\cdot \left(c^{\mathrm{\ell og}_{c\,}b} \right )^{m}\\ \\ =c^{n\mathrm{\,\ell og}_{c\,}a}\cdot c^{m\mathrm{\,\ell og}_{c\,}b}\\ \\ =c^{n\mathrm{\,\ell og}_{c\,}a+m\mathrm{\,\ell og}_{c\,}b}\\ \\ \\ a^{n}:b^{m}\\ \\ =\left(c^{\mathrm{\ell og}_{c\,}a} \right )^{n} : \left(c^{\mathrm{\ell og}_{c\,}b} \right )^{m}\\ \\ =c^{n\mathrm{\,\ell og}_{c\,}a} : c^{m\mathrm{\,\ell og}_{c\,}b}\\ \\ =c^{n\mathrm{\,\ell og}_{c\,}a-m\mathrm{\,\ell og}_{c\,}b}$


Resumindo as propriedades para operar com bases diferentes:

$\begin{array}{l} a^{n} \cdot b^{m}=a^{n+m\mathrm{\,\ell og}_{a\,}b}\\ \\ a^{n} : b^{m}=a^{n-m\mathrm{\,\ell og}_{a\,}b}\\ \\ \\ a^{n} \cdot b^{m}=b^{n\mathrm{\,\ell og}_{b\,}a+m}\\ \\ a^{n} : b^{m}=b^{n\mathrm{\,\ell og}_{b\,}a-m}\\ \\ \\ a^{n} \cdot b^{m}=c^{n\mathrm{\,\ell og}_{c\,}a+m\mathrm{\,\ell og}_{c\,}b}\\ \\ a^{n} : b^{m}=c^{n\mathrm{\,\ell og}_{c\,}a-m\mathrm{\,\ell og}_{c\,}b}\\ \\ \end{array}$