Question

Calcule o seno de 22º30' a partir de cos 2a= 1-2sen²a (Faça a=22º30'.)

Answer 1

$1^{\circ}=60'$

(um grau é igual a sessenta minutos)


Assim,

$a=22^{\circ}30'\\ \\ a=22^{\circ}+30'\\ \\ 2a=2\left(22^{\circ}+30' \right )\\ \\ 2a=44^{\circ}+60'\\ \\ 2a=44^{\circ}+1^{\circ}\\ \\ 2a=45^{\circ}\\ \\ \\ \cos 2a=1-2\mathrm{\,sen^{2}\,}a\\ \\ \cos 45^{\circ}=1-2\mathrm{\,sen^{2}}\left(22^{\circ}30' \right )\\ \\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}=1-2\mathrm{\,sen^{2}}\left(22^{\circ}30' \right )\\ \\ 2\mathrm{\,sen^{2}}\left(22^{\circ}30' \right )=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ 2\mathrm{\,sen^{2}}\left(22^{\circ}30' \right )=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\\ \\ \mathrm{\,sen^{2}}\left(22^{\circ}30' \right )=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\\ \\ \mathrm{\,sen^{2}}\left(22^{\circ}30' \right )=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}$


Como $22^{\circ}30'$ é um arco do primeiro quadrante, o seno é positivo. Então tirando a raiz quadrada positiva da expressão acima, temos

$\mathrm{\,sen}\left(22^{\circ}30' \right )=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}}\\ \\ \boxed{\mathrm{\,sen}\left(22^{\circ}30' \right )=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}$