Question

Como posso provar que U(Interseção)A=A (Identidade com respeito à interseção).

Answer 1

Provar que $U \cap A=A$.


Sendo $U$ o conjunto universo, temos que $A \subset U$ (primeira hipótese). Então, para todo elemento $x$, é válido que

$\text{se }x \in A\text{, ent\~{a}o }x \in U\\ \\ \Rightarrow \text{se }x \in A\text{, ent\~{a}o }x \in A\text{ e }x \in U\\ \\ \Rightarrow \text{se }x \in A\text{, ent\~{a}o }x \in U \cap A\\ \\ \Rightarrow A \subset \left(U \cap A \right )\;\;\;\text{(i)}$


Também, para todo elemento $x$, temos que

$\text{se }x \in U \cap A\text{, ent\~{a}o }x \in U\text{ e }x \in A\\ \\ \Rightarrow \text{se }x \in U \cap A\text{, ent\~{a}o }x \in A\\ \\ \Rightarrow \left(U \cap A \right ) \subset A \;\;\;\text{(ii)}$


Combinando $\text{(i)}$ e $\text{(ii)}$, temos

$A \subset \left(U \cap A \right )\text{ e }\left(U \cap A \right ) \subset A\\ \\ \Rightarrow U \cap A=A$

como queríamos demonstrar.