Question

a soma dos nove primeiros termos de uma progressao aritmetica de razao 2 e 9. qual o terceiro termo dessa sequencia.????

Answer 1

Fórmula do termo geral da P.A. (o termo da posição $n$), conhecido o termo de posição $k$:

$a_{n}=a_{k}+\left(n-k \right )\cdot r\;\;\;\;\text{(i)}$


Particularmente, podemos expressar o $k$-ésimo termo em função do primeiro:

$a_{k}=a_{1}+\left(k-1 \right )\cdot r\\ \\ a_{1}=a_{k}-\left(k-1 \right )\cdot r\;\;\;\;\text{(ii)}$


A fórmula da soma dos $n$ primeiros termos de uma P.A.:

$S_{n}=\dfrac{\left(a_{1}+a_{n} \right )\cdot n}{2}\;\;\;\;\text{(iii)}$


Substituindo as equações $\text{(i)}$ e $\text{(ii)}$, na equação $\text{(iii)}$ acima, temos

$S_{n}=\dfrac{\left[\;\left(a_{k}-\left(k-1 \right )\cdot r \right )+\left(a_{k}+\left(n-k \right )\cdot r \right ) \;\right ]\cdot n}{2}\\ \\ S_{n}=\dfrac{\left[\;2a_{k}+\left(-\left(k-1 \right )+\left(n-k \right ) \right )\cdot r \;\right ]\cdot n}{2}\\ \\ S_{n}=\dfrac{\left[\;2a_{k}+\left(-k+1+n-k \right )\cdot r \;\right ]\cdot n}{2}\\ \\ \boxed{S_{n}=\dfrac{\left[\;2a_{k}+\left(n-2k+1 \right )\cdot r \;\right ]\cdot n}{2}}$


Como temos uma soma de $n=9$ termos, e estamos interessados em conhecer o terceiro, fazemos $k=3$ na equação acima:

$S_{9}=\dfrac{\left[\;2a_{3}+\left(9-2\cdot3+1 \right )\cdot 2 \;\right ]\cdot 9}{2}\\ \\ 9=\dfrac{\left[\;2a_{3}+\left(9-6+1 \right )\cdot 2 \;\right ]\cdot 9}{2}\\ \\ 9=\dfrac{\left[\;2a_{3}+4\cdot 2 \;\right ]\cdot 9}{2}\\ \\9=\dfrac{\left[\;2a_{3}+8 \;\right ]\cdot 9}{2}\\ \\ 18=\left[\;2a_{3}+8\; \right ] \cdot 9\\ \\ 2a_{3}+8=2\\ \\ 2a_{3}=2-8\\ \\ 2a_{3}=-6\\ \\ \boxed{a_{3}=-3}$


O terceiro termo é $a_{3}=-3$.