Question

sendo ln5*ln7=3,1318, resolva a equação log (base 7) x - log (base 5) x^2 = 3*log (na base e) 9,8

Answer 1

Cara, estou tentando fazer esse exercício faz um tempo também kkk mas consegui, com muito esforço chegar no resultado.O pulo do gato foi simplesmente usar o 9,8 como 98/10 e depois simplificar ficando 49/5, ou seja 7² / 5. Isso ajudou MUITO
Seguindo para a resolução :

$log _{7} x - log _{5} x^{2} = 3log_{e}(9,8)$

Mudando para base ''e'' os termos da esquerda temos:

$\frac{log_{e} x}{log_{e} 7} - \frac{2log_{e} x}{log_{e} 5} = 3log_{e} ( \frac{98}{10} )$

Agora aplicando o MMC apenas no lado esquerdo da equação para ajudar a encontrar uma saída pra essa encrenca kkk, temos :

$\frac{(log_{e}x . log_{e} 5) - (log_{e}x . 2log_{e}7) }{log_{e}7 . log_{e}5} = 3(log_{e} ( \frac{49}{5} ))$

Colocando no lado esquerdo da igualdade o $log_{e}x$ em evidência, e transformando a divisão 98/10 em 45/5 já em diferença de logarítmos, temos :

$\frac{log_{e}x(log_{e}5 - 2log_{e}7) }{log_{e}7 . log_{e}5 } = 3(log_{e}49 - log_{e}5)$

Agora, como $ln7 . ln 5 = 3,1318$ vamos substituir esses valor no denominador do lado esquerdo da igualdade:

$\frac{log_{e} x (log_{e} 5 - 2log_{e}7) }{3,1318} = 3(2log_{e}7 - log_{e}5)$

Agora melhorando um pouco a equação temos:

$\frac{log_{e}x ( log_{e}5 - 2log_{e} 7)}{(2log_{e}7 - log_{e}5)} = 3 . 3,1318$

No lado esquerdo, como temos a mesma expressão de sinal trocado, vamos colocar um sinal de negativo multiplicando os log's para simplificar logo após:

$\frac{log_{e}x -(-log_{e}5 + 2log_{e}7)}{2log_{e}7 - log_{e} 5} = 9,3954$

Simplificando os termos semelhantes, fica:

$-log_{e}x = 9,3954$

E se a resposta da sua apostila estiver igual a minha, dando alguns ajustes nessa encrenca ficamos com :

$log_{e} x^{-1} = 9,3954$

Aplicando a regra do tombo, chegamos na resposta:

$e^{9,3954} = x^{-1}$

$\frac{1}{x} = e^{9,3954}$

$x = \frac{1}{ x^{9,3954} }$