Question

calcule a integral indefinida | 3/xln⁴ 3x . dx

Answer 1

É dada a seguinte integral indefinida:

$\displaystyle I = \int \dfrac{3}{x \ln^4(3x)}dx$

Para resolvê-la, vamos fazer uma substituição. Seja $u = \ln(3x)$. Então:

$du = 3\cdot\dfrac{1}{x}dx$

Mas, $u = \ln(3x)\Longrightarrow 3x = e^u\Longrightarrow x = \dfrac{e^u}{3}$. Usando acima:

$du = 3\cdot\dfrac{1}{ \dfrac{e^u}{3}}dx\\\\ du = \dfrac{9}{e^u}dx\\\\ dx = \dfrac{e^u}{9}du$

Agora, basta aplicarmos a substituição na integral:

$\displaystyle I = \int \dfrac{3}{x \ln^4(3x)}dx\\\\ I = \int \dfrac{3}{\dfrac{e^u}{3}\cdot u^4}\cdot \dfrac{e^u}{9}du\\\\ I = \int \dfrac{9}{e^u\cdot u^4}\cdot \dfrac{e^u}{9}du\\\\ I = \int \dfrac{du}{u^4}=\int u^{-4}\,du\\\\ I = \left[\dfrac{u^{-4+1}}{-4+1}\right]+C\\\\ I = -\dfrac{u^{-3}}{3}+C\\\\ I = -\dfrac{1}{3u^3}+C$

Agora, basta retornarmos à variável original:

$I = -\dfrac{1}{3\ln^3(3x)}+C\\\\ \boxed{\displaystyle\int \dfrac{3}{x \ln^4(3x)}dx=-\dfrac{1}{3\ln^3(3x)}+C}$