Question

Considere uma função y=f(x) tal que f(0)= -3 e dy/dx = 3x^5 + 2x^2 + 1. Encontre a função y = f (x) e calcule o valor de f(-1).

Answer 1

Olá!
 
    Temos a derivada da função y. Então, primeiro, vamos integrá-la em relação a x:

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=3x^5+2x^2+1\Rightarrow y=\int 3x^5+2x^2+1\;dx\Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow y=3\cdot\dfrac{x^6}{6}+2\cdot \dfrac{x^3}{3}+x+k = \dfrac{x^6}{2}+\dfrac{2x^3}{3}+x+k,\;k\in\mathbb{R}.$


    Agora, foi dito que   $f(0)=-3$   (lembre que y = f(x) ). Logo,


$y= \dfrac{x^6}{2}+\dfrac{2x^3}{3}+x+k,\;k\in\mathbb{R}\Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow f(0) = 0+0+0+k = -3\Rightarrow k = -3.\\ \\ \text{Ent\~ao,}\\ \\ y = f(x) = \dfrac{x^6}{2}+\dfrac{2x^3}{3}+x-3\\ \\ \\ \text{e, desse modo, }\\ \\ f(-1) = \dfrac{(-1)^6}{2}+\dfrac{2(-1)^3}{3}+(-1)-3 = \\ \\ \\ = \dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}-4 = \dfrac{6-8-48}{12}=-\dfrac{50}{12} = -\dfrac{25}{6}.$



Bons estudos!