Question

A figura ao lado refere-se a uma bicicleta construída no século XIX, no ano de 1870. Considere as duas rodas como duas circunferências cujas equações são dadas por: C1: x² + y² + 40x – 100y + 400 = 0 e C2: x² + y² – 100x – 40y + 2500 = 0 . Determine a distância entre os centros das rodas.

Answer 1

Olá

Vamos descobrir os centros de cada circunferência.

Para isso, a partir das equações dadas, vamos completar quadrado:

Temos que $C_1 : x^{2}+y^{2}+40x-100y+40=0$

Daí, temos que:

$x^{2}+40x+y^{2}-100y = -400$

Completando quadrado:

$x^{2}+40x+400+y^{2}-100y+2500=-400+400+2500$
$(x+20)^{2} + (y-50)^{2} = 2500$

Logo, temos que o centro de C1 é O1 = (-20,50)

Temos que $C_{2}:x^{2}+y^{2}-100x-40y+2500=0$ 

Daí, temos que:

$x^{2}-100x+y^{2}-40y=-2500$

Completando quadrado, temos que:

$x^{2}-100x+2500+y^{2}-40y+400=-2500+2500+400$
$(x-50)^{2}+(y-20)^{2} = 400$

Logo, o centro de C2 é O2 = (50,20)

Agora precisamos calcular a distância entre O1 e O2.

Lembrando que dado dois pontos $A=(x_a,y_a)$ e $B =(x_b, y_b)$ temos que a distância entre os pontos A e B é dada por $d(A,B) = \sqrt{(x_b - x_a)^{2} + (y_b - y_a)^{2}}$

Daí, 

$d(O1, O2) = \sqrt{(50+20)^{2} + (20-50)^{2}} = \sqrt{4900+900} = \sqrt{5800}$ , que é a distância pedida