Question

1)No espaço vetorial tridimensional, considere os vetores a=(1, 0, 2), b=(2,0,3) e
C=(-1,1,2).

a) Verifique que os vetores a, b e c formam uma base e escreva o vetor i=(1,0,0) como combinação linear dos vetores a, b e c.

b) Sendo os vetores a= AB , b= AC e c= AD, determine o volume do tetaedro ABCD.


(Obs: Na letra b eu não consegui colocar a seta dos vetores mas todos esses a= AB , b= AC e c= AD tem a seta).

Answer 1

Temos estes três vetores do espaço $\mathbb{R}^{3}$:

$\overset{\rightarrow}{\mathbf{a}}=\left \langle 1,\,0,\,2 \right \rangle\\ \\ \overset{\rightarrow}{\mathbf{b}}=\left \langle 2,\,0,\,3 \right \rangle\\ \\ \overset{\rightarrow}{\mathbf{c}}=\left \langle -1,\,1,\,2 \right \rangle$


a) Para que $\overset{\rightarrow}{\mathbf{a}}$, $\overset{\rightarrow}{\mathbf{b}}$ e $\overset{\rightarrow}{\mathbf{c}}$ formem uma base para $\mathbb{R}^{3}$, o determinante da matriz formada pelas coordenadas destes três vetores deve ser diferente de zero:

$\det\left[ \begin{array}{ccc} 1&0&2\\ 2&0&3\\ -1&1&2 \end{array} \right ] \begin{array}{ccccccc} \\ =& &1 \cdot 0 \cdot 2&+&0 \cdot 3 \cdot \left(-1 \right ) &+&2 \cdot 2 \cdot 1\\ &-&\left(-1 \right ) \cdot 0 \cdot 2&-&1 \cdot 3 \cdot 1 &-&2 \cdot 2 \cdot 0 \end{array}\\ \\ =0+0+4-0-3-0\\ \\ =4-3\\ \\ =1 \neq 0$


Logo, $\overset{\rightarrow}{\mathbf{a}}$, $\overset{\rightarrow}{\mathbf{b}}$ e $\overset{\rightarrow}{\mathbf{c}}$ são linearmente independentes, e formam uma base para $\mathbb{R}^{3}$.


Então, podemos escrever o vetor $\overset{\rightarrow}{\mathbf{i}}=\left \langle 1,\,0,\,0 \right \rangle$ como uma combinação linear entre $\overset{\rightarrow}{\mathbf{a}}$, $\overset{\rightarrow}{\mathbf{b}}$ e $\overset{\rightarrow}{\mathbf{c}}$. Então, vamos encontrar três escalares (números reais) $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$ e $\alpha_{3}$, de forma que

$\alpha_{1}\overset{\rightarrow}{\mathbf{a}}+\alpha_{2}\overset{\rightarrow}{\mathbf{b}}+\alpha_{3}\overset{\rightarrow}{\mathbf{c}}=\overset{\rightarrow}{\mathbf{i}}\\ \\ \alpha_{1}\left \langle 1,\,0,\,2 \right \rangle+\alpha_{2}\left \langle 2,\,0,\,3 \right \rangle+\alpha_{3}\left \langle -1,\,1,\,2 \right \rangle=\left \langle 1,\,0,\,0 \right \rangle\\ \\ \\ \left\{ \begin{array}{rcrcrcr} \alpha_{1}&+&2\alpha_{2}&-&\alpha_{3}&=&1\\ 0\alpha_{1}&+&0\alpha_{2}&+&\alpha_{3}&=&0\\ 2\alpha_{1}&+&3\alpha_{2}&+&2\alpha_{3}&=&0 \end{array}\right.$


Da segunda equação, obtemos

$\boxed{\alpha_{3}=0}$


Substituindo nas outras duas chegamos a este novo sistema:

$\left\{ \begin{array}{rcrcr} \alpha_{1}&+&2\alpha_{2}&=&1\\ 2\alpha_{1}&+&3\alpha_{2}&=&0 \end{array}\right.$


Isolando $\alpha_{1}$ na primeira equação e substituindo na segunda, temos

$\alpha_{1}=1-2\alpha_{2}\\ \\ 2\left(1-2\alpha_{2} \right )+3\alpha_{2}=0\\ \\ 2-4\alpha_{2}+3\alpha_{2}=0\\ \\ -\alpha_{2}=-2\\ \\ \boxed{\alpha_{2}=2}\\ \\ \\ \alpha_{1}=1-2\cdot \left(2 \right )\\ \\ \alpha_{1}=1-4\\ \\ \boxed{\alpha_{1}=-3}$


Então

$-3\overset{\rightarrow}{\mathbf{a}}+2\overset{\rightarrow}{\mathbf{b}}+0\overset{\rightarrow}{\mathbf{c}}=\overset{\rightarrow}{\mathbf{i}} \\ \\\boxed{-3\cdot\left \langle 1,\,0,\,2 \right \rangle+2 \cdot\left \langle 2,\,0,\,3 \right \rangle+0 \cdot\left \langle -1,\,1,\,2 \right \rangle=\left \langle 1,\,0,\,0 \right \rangle}$


b) O volume $V$ do tetraedro formado pelos três vetores $\overset{\rightarrow}{\mathbf{a}}$, $\overset{\rightarrow}{\mathbf{b}}$ e $\overset{\rightarrow}{\mathbf{c}}$ é dado por

$V=\dfrac{1}{6}\cdot \left|\overset{\rightarrow}{\mathbf{a}} \cdot \left(\overset{\rightarrow}{\mathbf{b}} \times \overset{\rightarrow}{\mathbf{c}}\right )\right|\\ \\ V=\dfrac{1}{6}\cdot\left|\det\left[ \begin{array}{ccc} 1&0&2\\ 2&0&3\\ -1&1&2 \end{array} \right ]\right|$


Este determinante já foi calculado, então

$V=\dfrac{1}{6}\cdot\left|1\right|\\ \\V=\dfrac{1}{6}\cdot 1\\ \\ \boxed{V=\dfrac{1}{6}\text{ u.v.}}$