Question

No centro de uma praça retangular ABCD, de lados AB = 160 m e BC = 120 m, há um lago circular, cujo diâmetro é igual a 2/5 da diagonal da praça. Um menino quer ir do ponto A ao ponto C da praça. Ele tem duas opções: ir ao longo dos lados AB e BC ou ir direto de A a C,contornando o lago.
a) Qual dos dois caminhos é o mais curto?
b) Que fração da área da praça ocupa o lago?

Answer 1

a) O caminho percorrido ao longo dos lados AB e BC é igual à soma dos dois lados do retângulo: 160 + 120 = 280 m
O caminho pela diagonal AC mais o contorno do lago pode ser obtido calculando-se o comprimento da diagonal do retângulo, mais o arco da semi-circunferência.
A diagonal AC pode ser obtida pelo Teorema de Pitágoras, pois ABC é um triângulo retângulo, no qual AB e BC são catetos, e AC é hipotenusa:
AC² = AB² + BC²
AC² = 160² + 120²
AC = √25.600 + 14.400
AC = √ 40.000
AC = 200 m

O diâmetro da semi-circunferência é igual a 2/5 de 200, ou seja, é igual a 80 m
O comprimento da semi-circunferência é, então, igual a π × r, ou seja,
π × 40 m = 3,14 × 40 m = 125,60 m

No caminho de A até C, além do arco da semi-circunferência, o menino deverá andar mais o trecho em reta, que é igual à diagonal AC menos o diâmetro da circunferência: 200 m - 80 m = 120 m.
Assim, o caminho pela diagonal será igual a 120 m + 125,60 m, ou 245,60 m
Já o caminho pelos lados AB e BC é iguala 280 m.
Então, o caminho pela diagonal e pelo arco da semi-circunferência é menor (245,60 m).

b) A área do círculo (S) que corresponde ao lago é obtida por π × r²
S = 3,14 × 40²
S = 5.024 m²

Como a área total do retângulo é igual ao produto dos lados, ou seja, 160 m × 120 m = 19.200 m², a fração que o lago ocupa com relação à área total é obtida por uma regra de três:
19.200  -------   100%
 5.024   -------     x %

Multiplicando os meios pelos extremos, obtemos:
19.200 × x = 5.024 × 100
x = 502.400 ÷ 19.200
x = 26,166 % é a proporção que o lago ocupa com relação à praça.