Question

Usando os algarismos de 0 a 9 ,quantos números de 4 algarismos distintos são divisíveis por 5?

Answer 1

Para que este número seja divisível por $5$, o algarismo das unidades deve ser $0$ (zero) ou $5$.


a) Quantidade de números que terminam com $0$ (zero):

Como o algarismo das unidades é zero, então


$\bullet\;\;$ para o algarismo das unidades de milhar, temos $9$ possibilidades: $\left\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9 \right \}$;

$\bullet\;\;$ para o algarismo das centenas, temos $9-1=8$ possibilidades, pois retiramos da lista de algarismos possíveis aquele já escolhido para as unidades de milhar;

$\bullet\;\;$ para o algarismo das dezenas, temos $8-1=7$ possibilidades.


Então, o total de números de $4$ algarismos distintos terminados em $0$ (zero) é

$9 \times 8 \times 7=\boxed{504 \text{ n\'{u}meros}}$


b) Quantidade de números que terminam com $5$:

Como o algarismo das unidades é $5$, então

$\bullet\;\;$ para o algarismo das unidades de milhar, temos $8$ possibilidades: $\left\{1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,7,\,8,\,9 \right \}$, pois um número nunca pode começar com zero;

$\bullet\;\;$ para o algarismo das centenas, podemos acrescentar o zero como uma possibilidade válida, mas devemos descontar da lista de possibilidades o algarismo já escolhido no passo anterior. Então, para as centenas temos $8+1-1=8$ possibilidades;

$\bullet\;\;$ para o algarismo das dezenas, temos $8-1=7$ possibilidades.


Então, o total de números de $4$ algarismos distintos terminados em $5$ é

$8 \times 8 \times 7=\boxed{448 \text{ n\'{u}meros}}$


Enfim, o total de números de $4$ algarismos distintos que terminam em $0$ (zero) ou $5$ é

$504+448=\boxed{952 \text{ n\'{u}meros}}$