Question

O coeficiente de x^5 no desenvolvimento de [(2/x)+x^3]^7 é:
a) 30
b) 90
c) 120
d)270
e) 560

Answer 1

Binômio de Newton.

O resultado da expansão do binômio
     
     $\mathsf{(a+b)^n\qquad\quad n\in\mathbb{N}}$


é dado por um somatório:

     $\mathsf{(a+b)^n=\displaystyle\sum_{p=0}^n\binom{n}{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^k}$


A soma acima possui  n + 1  termos, e o termo da posição  k + 1  é 

     $\mathsf{t_{k+1}=\dbinom{n}{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^k\qquad 0\le k\le n}$

sendo  $\mathsf{\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}}$ o coeficiente binomial.


Nesta questão temos a expansão do binômio

     $\mathsf{\left(\dfrac{2}{x}+x^3\right)^{\!7}}\\\\\\ \mathsf{=\left(2x^{-1}+x^3\right)^7}$

com  $\mathsf{a=2x^{-1},~~b=x^3,~~n=7.}$


Como n = 7, a expansão do binômio terá 7 + 1 = 8 termos.


Em qual termo aparecerá x⁵? Para isso, usamos a fórmula do termo da (k + 1)-ésima posição:

     $\mathsf{t_{k+1}=\dbinom{n}{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^k}\\\\\\ \mathsf{t_{k+1}=\dbinom{7}{k}\cdot (2x^{-1})^{7-k}\cdot (x^3)^k}\\\\\\ \mathsf{t_{k+1}=\dbinom{7}{k}\cdot 2^{7-k}\cdot (x^{-1})^{7-k}\cdot (x^3)^k}\\\\\\ \mathsf{t_{k+1}=\dbinom{7}{k}\cdot 2^{7-k}\cdot x^{-(7-k)}\cdot x^{3k}}$

     $\mathsf{t_{k+1}=\dbinom{7}{k}\cdot 2^{7-k}\cdot x^{-(7-k)+3k}\qquad\quad(i)}$


O expoente de x deve ser igual a 5:

     $\mathsf{-(7-k)+3k=5}\\\\ \mathsf{-7+k+3k=5}\\\\ \mathsf{k+3k=5+7}\\\\ \mathsf{4k=12}\\\\ \mathsf{k=\dfrac{12}{4}}$

     $\mathsf{k=3}$        ✔


O x⁵ aparece quando k = 3, isto é, para o 4º termo do desenvolvimento.


Finalmente, o coeficiente procurado é o valor que multiplica x⁵:

     $\mathsf{\dbinom{7}{k}\cdot 2^{7-k}}\\\\\\ \mathsf{=\dbinom{7}{3}\cdot 2^{7-3}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{7!}{3!\cdot (7-3)!}\cdot 2^{7-3}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{7\cdot 6\cdot 5 \cdot \diagup\!\!\!\!\! 4!}{3!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 4!}\cdot 2^4}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot 2^4}\\\\\\ \mathsf{=35\cdot 16}$

     $\mathsf{=560\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Resposta:  alternativa  (E)  560.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Jacquefr, que a resolução é mais ou menos simples.

i) Pede-se o valor do coeficiente de x⁵ no desenvolvimento [(2/x) + x³]⁷

ii) Antes veja que o desenvolvimento de questões que envolve o binômio de Newton são definidas assim:

(x + a)ⁿ = C(n,p)*[xⁿ⁻ᵖ * aᵖ] ----- como, no caso do desenvolvimento da sua questão o "n" é igual a "7", então teríamos isto, utilizando o número dado, que é este: [(2/x) + x³]⁷. Se formos colocar no desenvolvimento acima (quando vimos combinação de "n" tomados "p" a "p"), teremos;

[(2/x) + x³]⁷ = C(7, p)*[(2/x)⁷⁻ᵖ * (x³)ᵖ]
[(2/x) + x³]⁷ = C(7, p)*[(2⁽⁷⁻ᵖ⁾/x⁽⁷⁻ᵖ⁾) * x³ᵖ] ----- desenvolvendo, teremos:
[(2/x) + x³]⁷ = C(7, p)*[2⁽⁷⁻ᵖ⁾ * x³ᵖ/x⁽⁷⁻ᵖ⁾]

Como queremos queremos o coeficiente de x⁵, então vamos tomar apenas os "x" acima e vamos igualar a x⁵. Assim, teremos que:

x⁽³ᵖ)/x⁽⁷⁻ᵖ⁾ = x⁵ --- no 1º membro temos divisão de potências da mesma base, cuja regra é: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Logo:

x⁽³ᵖ⁾⁻⁽⁷⁻ᵖ⁾ = x⁵ ---- desenvolvendo os expoentes, teremos:
x⁽³ᵖ⁻⁷⁺ᵖ⁾ = x⁵ ---- continuando o desenvolvimento nos expoentes:
x⁴ᵖ⁻⁷ = x⁵ ---- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:

4p - 7 = 5
4p = 5 + 7
4p = 12
p = 12/4
p = 3 <--- Então este deverá ser o valor de "p" para que tenhamos o coeficiente de x⁵.

Assim, vamos considerar combinação de "7" tomados "3" a "3". Fazendo isso, teremos;

C(7,3) = 7!/(7-3)!3!)*[(2/x)⁷⁻³ * (x³)³]
C(7, 3) = 7!(4!3!)*[(2/x)⁴ *( x⁹)]
C(7, 3) = 7*6*5*4!/(4!3!)*[(16/x⁴) * x⁹ ---- desenvolvendo, temos:
C(7, 3) = 7*6*5/(3*2*1)*[16x⁹/x⁴] --- continuando o desenvolvimento:
C(7, 3) = 210/6*[16x⁹⁻⁴] --- como 210/6 = 35, teremos:
C(7, 3) = 35*16x⁵ ---- finalmente, como 35*16 = 560, teremos:
C(7, 3) = 560x⁵ <--- Pronto. Este é o termo que dá o x⁵.

Assim, como é pedido o valor do coeficiente de x⁵, então teremos que a resposta será:

560 <--- Esta é a resposta. Opção "E".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.