Question

resolva a inequação:
$\frac{5x + 1}{ {x}^{2} + 4x + 4} < 0$

Answer 1

Olá!
 
    Perceba que o sinal de uma função racional depende dos sinais tanto de numerador quanto de denominador. Ou seja, se tivermos numerador e denominador com o mesmo sinal, a função será positiva, mas se eles tiverem sinais contrários, a função será negativa. 
 
    Como o exercício pede pra verificar onde aquela função racional dada é negativa, precisamos as funções de numerador e denominador tenham sinais opostos.


Primeiro caso: Numerador positivo e denominador negativo

$\left\{\begin{array}{lcr}5x+1\ \textgreater \ 0 \Rightarrow &5x\ \textgreater \ -1 \Rightarrow &x\ \textgreater \ -\dfrac{1}{5}\\ \;&\;&\;\\ x^2+4x+4\ \textless \ 0 \Rightarrow &(x+2)^2\ \textless \ 0 \Rightarrow &\text{imposs\'{\i}vel} \end{array}\right.$

Ou seja, este caso não ocorre.


Segundo caso: Numerador negativo e denominador positivo

$\left\{\begin{array}{lcr}5x+1\ \textless \ 0\Rightarrow & 5x\ \textless \ -1\Rightarrow & x\ \textless \ -\dfrac{1}{5}\\ \;&\;&\; \\ x^2+4x+4\ \textgreater \ 0\Rightarrow & (x+2)^2\ \textgreater \ 0\Rightarrow & \text{vale}\;\;\forall x\in\mathbb{R} \end{array}\right.$


    Portanto, o conjunto solução S é dado por

$S=\left\{x\in\mathbb{R}:x\ \textless \ -\frac{1}{5}\right\}=\left]-\infty,-\frac{1}{5}\right[.$



Bons estudos!