Question

Define-se como satélite rasante terrestre aquele cuja órbita é baixa o suficiente para que o raio dela seja considerado aproximadamente igual ao raio da Terra (r ≈ R).
a) calcule o valor da velocidade necessária para que se coloque um satélite rasante em órbita. Dados: Rт ≈ 6,4 · 10⁶ m; Mт ≈ 6 · 10²⁴ kg; G ≈ 7 · 10⁻¹¹ N · m² · kg⁻².

b) determine o que deve ocorrer com sua velocidade para que sua orbita passe a ter raio igual ao dobro do raio da Terra (r = 2R).

c) calcule sua nova velocidade orbital, supondo que a massa e o raio da Terra dobraram de valor

Answer 1

a)Temos aqui que partir de algumas fórmulas derivadas das Leis de Newton sobre a gravidade,primeiro vamos calcular a gravidade na superfície,supondo que esse corpo estivesse sobre a superfície:

P = Fg
mg = GMm/d^2

g = GM/R^2

Agora vamos aos cálculos:

$g s= \frac{7. {10}^{ - 11}.6. {10}^{24} }{( ({6.4}. {10}^{6} )^{2} )} \\ gs = \frac{42. {10}^{13} }{40.96. {10}^{12} } \\ gs = 1.025. {10}^{1} \\ gs = (aprox)10.25m {s}^{2}$
De posse disso,podemos nos lembrar que para que um corpo fique em órbita suportado a gravidade da terra,essa gravidade tem que se anular com uma certa velocidade,que é a força resultante centripeta:

P = Fct

Fazendo alguns cálculos chegamos na expressão:

$v = \sqrt{r.gs} \\ v = \sqrt{ 6.4. {10}^{6} \times 10.25} \\ v = \sqrt{65.6. {10}^{6} } = \sqrt{65.600000} \\ v = (aprox)8099.38ms$
b)É fácil parceber que a aceleração gravitacional do planeta é constante e descrecente quanto mais se afasta de sua superfície(onde sua gravidade é máxima)se a expressão da força centripeta nos diz que a velocidade é diretamente proporcional à uma força proporcional ao aumenta da velocidade,quando essa força é ilimitada podemos calcular:

$fg = fcp \\ \frac{7 . {10}^{ - 11} \times 6. {10}^{24} }{2( {6.4. {10}^{6} })^{2} } = \frac{ {v}^{2} }{2.(6.4. {10}^{6}) } \\ \frac{42. {10}^{13} }{ ({12.8. {10}^{6} })^{2} } = \frac{ {v}^{2} }{ 12.8. {10}^{6} } \\ \\ 163.84. {10}^{12} {v}^{2} = 537. 6.{ {10}^{19} } \\ \\ {v}^{2} = \frac{537.6. {10}^{19} }{163.84. {10}^{12} } = 3.28125. {10}^{7} \\ v = \sqrt{3.28125. {10}^{7} } \\ \\ v = \sqrt{32812500} \\ v = 5728.21ms$
Fazendo uma razão para comparar:

$r = \frac{8099.38}{5728.21} \\ r = (aprox)1.5$
Temos então aproximadamente 1,5 de velocidade à menos nessa altura,pois como sabemos,o campo fica mais fraco à medida que se sobe.

Para que você visse o resultado disso,eu já fiz a conta que a Letra "c" pede,ok?

Espero ter ajudado.

Answer 2

a) O valor da velocidade seria de aproximadamente 8100 m/s

b) O valor da velocidade seria aproximadamente 5730 m/s

c) O valor da velocidade seria de aproximadamente 8100 m/s

A Lei da Gravitação Universal de Newton trata da relação existente entre a força de atração entre os corpos, a massa dos mesmos e a distância existente entre os seus centros de gravidade.  

De acordo com Newton, a força de atração seria diretamente proporcional às massas dos dois corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separasse seus centros de gravidade. Assim, ele chegou à seguinte expressão -  

F = G· M·m/R²

Para que o satélite fique em órbita, a força de atração equivalerá à força resultante centrípeta.

F = Fc

G· M·m/R² = m.V²/R

G.M/R = V²

V = √G.M/R

Dados fornecidos pela questão-

• M = 6. 10²⁴ Kg
• G = 7. 10⁻¹¹N.m²/kg²
• R = 6,4. 10⁶ m

Calculando a velocidade-

V = √G.M/R

V = √7. 10⁻¹¹. 6. 10²⁴/6,4. 10⁶

V = √65,625. 10⁶

V ≅ 8100 m/s

Se o raio da órbita fosse o dobro do raio da Terra-

V = √G.M/2R

V = √7. 10⁻¹¹. 6. 10²⁴/2. 6,4. 10⁶

V = √32,81. 10⁶

V ≅ 5730 m/s

Se a massa e o raio da Terra dobrassem de valor-

V = √G.2.M/2R

V = √G.M/R

V ≅  8100 m/s

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