Numa P.G (Progressão Geométrica) crescente de 4 termos, o 1° termo é o quíntuplo da razão, e a diferença entre o 2° termo e o 1° termo vale 30, escreva a P.G
Respostas
A1=5Q q (razão e a1 é o primeiro termo)
A2-A1=30
(existe uma propriedade da PG que diz que qualquer termo dividido pelo seu antecessor é igual a razão, por exemplo, se a PG fosse 2,4,8 pegaríamos qualquer termo e dividiriamos pelo seu antecessor e o resultado seria a razão, nesse caso vamos pegar o 4, seu antecessor é 2 (o termo antecessor e não o antecessor de 4) então 4/2=2 logo a razão é igual a 2)
Voltando ao exercício
Vou fazer uma coisa agora que se você não entender você me pergunta que eu explico.
vou chamar de X o a1
Vou chamar de Y o A2
Y=XQ
vamos agora montar a equação
XQ/5Q=Q
XQ-X=30
Virou um sistema:
Na primeira equação vamos simplificar XQ/5Q para encontrarmos o Q
XQ/5Q= X/5
então Q= X/5 vamos substituir esse valor na segunda equação
X.x/5-x=30
X^2-x=30
Vamos colocar todo mundo com o denominador 5
X^2/5-5x/5=150/5 vamos eliminar os denominadores
X^2-5x=150
X^2-5x-150=0 Equação do segundo grau
Formula da equação do segundo grau
X=-b+-VΔ/2.a
Δ=B^2-4.a.c
A=1 B=-5 C=-150
vamos calcular o Delta
Δ=25-4.1.(-150)
Δ=25+600
Δ=625
x=-(-5)+-V625/2
X=5+-25/2
X'=15
X''=-10
Qual dos dois é a resposta? Vamos ter que montar a sequência e ver qual delas se torna uma PG
Se for 15 então 15 é o primeiro termo, e no enunciado disse que 15 é o quíntuplo da razão então nesse caso a razão é igual a 15/5=3
15,45 A2-A1 tinha que ser igual a 30 lembra?
45-15=30 então encontramos o valor do primeiro, do segundo termo e a razão
A1=15
Q=3 agora só falta montarmos a PG
15,45,135,405
Tudo tranquilo? se tiver alguma dúvida me fale
A progressão geométrica dada é (15, 45, 135, 405). É possível determinar qualquer termo de uma progressão geométrica a partir da fórmula do termo geral.
Termo Geral da Progressão Geométrica
A partir do primeiro termo e da razão de uma progressão geométrica, podemos determinar qualquer termo pela seguinte fórmula:
aₙ = a₁ . (qⁿ⁻¹)
Em que:
- aₙ é o enésimo termo (termo de ordem n) da progressão;
- a₁ é o primeiro termo da progressão;
- q é a razão da progressão.
Assim, dado que o 1º termo é o quíntuplo da razão:
a₁ = 5q
E que a diferença entre o segundo termo e o primeiro vale 30:
a₂ - a₁ = 30
a₂ = 30 + a₁
Utilizando a fórmula do termo geral:
a₂ = a₁ ⋅ q
30 + a₁ = a₁ ⋅ q
Substituindo a primeira relação:
30 + a₁ = a₁ ⋅ q
30 + (5q) = (5q) ⋅ q
30 + 5q = 5q²
5q² - 5q - 30 = 0
q² - q - 6 = 0
Utilizando a fórmula de Bhaskara para determinar q:
Δ = b² - 4ac
Δ = (-1)² - 4(1)(-6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25
q = (-b ± √Δ) / 2a
q = (-(-1) ± √25) / 2(1)
q = (1 ± 5) / 2
q' = -2 ou q'' = 3
Como a progressão é crescente, a solução q = 3 é a única correta.
Calculando o valor a₁:
a₁ = 5q
a₁ = 5(3)
a₁ = 15
Assim, a progressão geométrica pedida é:
(15, 45, 135, 405)
Para saber mais sobre Progressões, acesse: brainly.com.br/tarefa/43095120
#SPJ2
