Question

Em uma PA o último termo é 200, sua razão é 7, e a soma de seus termos é 2955. Determine
o primeiro termo e o numero de termos dessa PA .

Answer 1

Último termo  = 200
razão = r = 7
Soma = 2955

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$an = a1 + ( n - 1 ) * r \\ \\ 200 = a1 + ( n -1 ) * 7 \\ \\ 200 = a1 + 7n- 7 \\ \\ 7n + a1 = 207 \\ \\ a1 = 207 - 7n$

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Com o valor de a1, podemos substituir na equação da soma.

$Sn = ( a1 + an ) * n / 2 \\ \\ 2955 = ( 207 - 7n + 200) * n / 2 \\ \\ 2955 * 2 = (407 - 7n ) * n \\ \\ 5910 = 407n - 7n^2 \\ \\ -7n^2 + 407n = 5910 \\ \\ -7n^2 + 407n - 5910 = 0 (-1) \\ \\ \\ => 7n^2 - 407n + 5910 = 0$

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Temos uma equação de 2º Grau:

Resolvendo por fatoração:

$7n2 - 407n + 5910 = 0 \\ \\ \\ (x - 30) * (7x - 197) \\ \\ \\ x' - 30 = 0 \\ \\ x' = 30 \\ \\ \\ 7x - 197 = 0 \\ \\ 7x = 197 \\ \\ x'' = \dfrac{197}{7}$

x' = 30 é a raiz que convêm para a resolução

O número de termos é  raiz da equação x' = 30

Número de termos  = 30

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Encontrando a1 (primeiro termo)

$an = a1 + ( n -1) r \\ \\ 200 = a1 + ( 30 -1) * 7 \\ \\ 200 = a1 + 203 \\ \\ 200 - 203 = a1\\ \\ a1 = -3$

Primeiro termo = a1 = -3

Answer 2

Dados do enunciado:

an = 200

r = 7

Sn = 2955

n = ?

a1 = ?

Termo Geral de uma PA:

an = a1 + (n - 1).r

200 = a1 + (n - 1).7

200 = a1 + 7n - 7

200 + 7 = a1 + 7n

207 = a1 + 7n

a1 + 7n = 207

a1 = 207 - 7n

Soma dos termos de uma PA;

Sn = (a1 + an).n

               2

2.Sn = (a1 + an).n

2.2955 = (a1 + 200).n

5910 = (207 - 7n + 200).n

5910 = (407 - 7n).n

5910 = 407n - 7n²

7n² - 407n + 5910 = 0

a = 7; b = - 407; c = 5910

Equação do 2º grau (Báscara)

Δ = b² - 4ac

Δ = (-407)² - 4.7.(5910)

Δ = 165649 - 165480

Δ = 169

n = - b +/- √Δ = - ( - 407) +/- √169

         2a                    2.7

n' =  407 + 13 = 420/14 = 30

           14

n" = 407 - 13 = 394 (:2) = 197     (descarto, pois não é nº inteiro)

           14         14 (:2)       7

n = 30

a1 = 207 - 7n

a1 = 207 - 7.30

a1 = 207 - 210

a1 = - 3

Resp.: n = 30 e a1 = - 3

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Prova real:

Sn = (a1 + an).n

               2

Sn = (- 3 + 200).30

                2

Sn = 197.15

Sn = 2955 (A soma dos termos é 2955)

an = a1 + (n - 1).r

200 = -3 + (30-1).7

200 = - 3 + 29.7

200 = - 3 + 203

200 = 200