Question

Em [0, 2π[, a soma das soluções de 2 cos 2 x + 5 sen x = 4 é:

Answer 1

Olá

Acredito que seja $2cos^2(x)+5sen(x)=4$

Sendo assim, sabemos que $sen^2(x)+cos^2(x)=1$ e, portanto, $cos^2(x) = 1 - sen^2(x)$

Logo, $2(1-sen^2(x))+5sen(x) = 4$
$2 - 2sen^2(x) + 5sen(x) - 4 = 0$
$-2sen^2(x) + 5sen(x)-2=0$

Chamando  y = sen(x), temos que:

$-2y^2 +5y-2=0$

Resolvendo por Bháskara:

Δ = $5^2-4.(-2)(-2)$
Δ = 25 - 16
Δ = 9
$y = \frac{-5 +- \sqrt{9} }{2.(-2)}$
$y = \frac{-5+-3}{-4}$

$y' = \frac{-5-3}{-4} = 2$
$y" = \frac{-5+3}{-4} = \frac{1}{2}$

Logo, o y que usaremos será o 1/2

Se y = 1/2, então x, no intervalo [0,2π) será igual a $\frac{\pi}{6}$ ou $\frac{5\pi}{6}$

Portanto, a soma das soluções será:

$\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \pi$