Question

(MODELO ENEM) O conjunto-verdade, em R, da equação √3x+1=x−1 é
Escolha uma:
a. {5}
b. {0; 5}
c. Ø
d. {0}
e. R

Answer 1

Vamos lá.

Veja, MiOliveira, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se a seguinte equação irracional:

√(3x+1) = x - 1

ii) Para eliminar o radical do 1º membro, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, com o que ficaremos assim:

[√(3x+1)]² = (x-1)² ---- desenvolvendo o quadrado nos dois membros, temos:

3x + 1 = x² - 2x + 1 ---- passando todo o 1º membro para o 2º iremos ficar com:

0 = x² - 2x + 1 - 3x - 1 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos com:
0 = x² - 5x --- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:
x² - 5x = 0 ---- vamos colocar "x" em evidência, ficando assim
x*(x - 5) = 0 --- note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0 ---> x' = 0

ou
x-5 = 0 ---> x'' = 5.

iii) Agora veja que, em princípio, temos que "x" poderá ser igual a "0" ou igual a "5". Mas quando estamos trabalhando com equações irracionais nunca podemos nos antecipar e informar que o resultado será aquele que acabamos de encontrar. Nesse tipo de equação só poderemos dizer que o resultado é este ou aquele após fazermos a prova de que os valores encontrados satisfarão à igualdade original.
Então vamos substituir o "x" da expressão original pelos dois valores encontrados (para x = 0 e para x = 5) e vamos ver se os dois satisfazem (ou não) a igualdade da expressão original.

- Para x = 0, teremos na expressão original [√(3x+1) = x-1]:

√(3*0+1) = 0 - 1
√(0+1) = - 1
√(1) = - 1 ----- como √(1) = 1, teremos:
1 = - 1 <--- ABSURDO. Logo a raiz x = 0 NÃO satisfaz à igualdade da expressão original. Logo, a raiz x = 0 será descartada.

- Para x = 5,  teremos na expressão original [√(3x+1) = x-1].

√(3*5+1) = 5-1
√(15+1) = 5-1
√(16) = 4 ------ como √(16) = 4, teremos:
4 = 4 <--- Perfeito. Como para x = 5 a igualdade da expressão original ficou preservada, então só admitiremos a raiz x = 5, que será o único conjunto-solução, o que poderá ser expresso assim:

S = {5} <--- Esta é a resposta. Opção "a".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.