Question

Uma ferrovia foi construída em um terreno plano, o que fez com que essa ferrovia ficasse com longos trechos retilíneos e poucas curvas. Em um sistema cartesiano conveniente, há um longo trecho retilíneo nessa ferrovia, que vai do ponto A = (3; 2) até o ponto B = (8; 4). A unidade de medida utilizada é o quilômetro. No momento em que realizaram os projetos para a construção dessa ferrovia, os engenheiros representaram os segmentos de reta do trajeto usando as equações cartesianas da reta suporte desse segmento. Para x variando no intervalo [3; 8], o longo segmento de reta da ferrovia que vai de A até B foi representado pelos engenheiros como

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Edulinda, que os engenheiros deverão ter representado a ferrovia retilínea por meio de uma equação que passe nos dois pontos dados, que são os pontos A(3; 2) e B(8; 4).

i) Note que quando se tem uma reta que passa em dois pontos A(x₀; y₀) e B(x₁; y₁) o coeficiente angular (m) dessa reta é encontrado assim:

m = (y₁-y₀)/(x₁-x₀)

Logo, tendo a relação acima como parâmetro, então o coeficiente angular (m) da reta que passa nos pontos A(3; 2) e B(8; 4) terá o seu coeficiente angular encontrado assim:

m = (4-2)/(8-3) ---- desenvolvendo, temos;
m = (2)/(5) --- ou apenas:
m = 2/5 <--- Este será o coeficiente angular da reta que passa nos pontos A(3; 2) e B(8; 4).

ii) Agora veja: quando já se conhece o coeficiente angular (m) de uma reta e apenas um dos pontos por onde ela passa (x₀; y₀), a sua equação é encontrada assim:

y - y₀ = m*(x - x₀)

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a reta que tem coeficiente angular igual a "2/5" (m = 2/5) e que passa em um dos pontos dados [que tanto pode ser o ponto A(3; 2),como o ponto B(8; 4)] terá a seguinte equação (vamos escolher o ponto A(3; 2)):

y - 2 = (2/5)*(x - 3) ---- note que isto pode ser reescrito assim, o que dá no mesmo:

y - 2 = 2*(x-3)/5 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
5*(y - 2) = 2*(x - 3) ---- efetuando os produtos indicados, teremos:
5y - 10 = 2x - 6 ------ passando "-10" para o 2º membro, teremos:
5y = 2x - 6 + 10
5y = 2x + 4 ---- isolando "y", teremos:
y = (2x + 4)/5 --- ou, o que é a mesma coisa:
y = 2x/5 + 4/5 <--- Esta é a equação reduzida da reta da sua questão.

Se você quiser a equação geral, então é só tomar a última passagem acima (logo antes de isolar o "y" para achar a equação reduzida), que era esta:

5y = 2x + 4 ---- passando "5y" para o 2º membro, teremos:
0 = 2x + 4 - 5y ---- ordenando, teremos:
0 = 2x - 5y + 4 --- ou invertendo-se, o que dá no mesmo:
2x - 5y + 4 = 0 <--- Esta é a equação geral da reta da sua questão.

Você escolhe qual é a equação quer apresentar (se a equação reduzida ou se a equação geral), o que vai depender das opções de respostas fornecidas pela questão (o que você deveria ter colocado no enunciado da questão).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.