Question

Prove a identidade trigonometrica abaixo:
sen²x / -cosx (cosx-senx) + cos²x/senx (cosx-senx) - 1/senx.cosx =1

Answer 1

Primeiro jogue o sinal de "-" do cos x pra cima, para facilitar um pouco:
-sen²x/(cosx(cosx - senx) + cos² x/(senx(cosx - senx)) - 1/senx.cosx = 1

MMC (cosx.(cosx - sen x),senx.(cosx - senx)) =
cosx.(cosx - sen x),senx.(cosx - senx), senx.cosx         /(cos x - senx)
cosx , sen x, sen x                                                            cosx
1, sen x, sen x                                                                   senx
1, 1 , 1

Então o MMC é senx.cosx(cos x - senx).

Igualando os denominadores e somando:
-sen²x/(cosx(cosx - senx) + cos²x/(senx(cosx - senx)) - 1/senx.cosx = 1
((-sen²x. sen x) + (cos²x. cosx) - (cosx - senx)/((senx.cosx.(cosx - senx))=1

Passe a parte que está dividindo para o outro lado multiplicando:
((-sen²x. sen x) + (cos² x. cos x) - (cosx - senx)) = senx.cosx(cos x - senx)
- sen²x . sen x + cos²x. cos x - cos x + sen x = senx.cosx(cos x - sen x)

Fazendo a distributiva no lado direito:
- sen²x. sen x + cos²x. cos x - cos x + sen x = senx. cos²x - cosx. sen²x

Agora vamos colocar senx e o -cosx em evidencia:

sen x.(-sen x² + 1) - cos x.(-cos x² + 1) = senx. cos²x - cosx. sen²x

Agora lembre-se da propriedade fundamental trigonométrica:
cos²x + sen²x = 1, assim:
cos²x = 1 - sen²x  e 
sen²x = 1 - cos²x 

com base nisso:

sen x.(cos² x) - cos x.(sen²x) = senx. cos²x - cosx. sen²x

Bons estudos