Question

(CÁLCULO 2) Determinar o limite - caso exista - ou mostre se não existir.

lim (x,y) ----> (0,0) (FUNÇÃO NA FOTO)

Answer 1

Olá, Nise.

Ao olharmos para esse problema, vemos que parece que poderemos usar o limite sen(u)/u = 1, quando u → 0. Ele é válido sempre que temos uma razão entre o seno de uma expressão e a própria expressão, com seus argumentos tendendo a zero. Logo:

$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{\tan(3(x^2+3y^2))}{(x^2+3y^2)}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\sin(3(x^2+3y^2))}{(x^2+3y^2)\cdot\cos(3(x^2+3y^2))}\\ \\ \\= \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{3[\sin(3(x^2+3y^2))]}{[3(x^2+3y^2)]\cdot\cos(3(x^2+3y^2))} = \\ \\ \\ =3\cdot \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\sin(3(x^2+3y^2))}{3(x^2+3y^2)}\cdot \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{1}{\cos(3(x^2+3y^2))}$

O primeiro limite vai para 1, pois é o limite trigonométrico fundamental; O segundo é de uma função contínua em zero, e o limite vale 1. 

Assim, todos esses limites se reduzem à:

 $3\cdot 1 \cdot 1 = 3$

Portanto,

$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{\tan(3(x^2+3y^2))}{(x^2+3y^2)} = 3$