Question

(CÁLCULO 2) Considere que:
z = x² - y²
x = u sen (v)
y = 3uv
Calcular a derivada parcial de z em relação a v de duas maneiras:

A primeira - usando-se a regra da cadeia
A segunda - escrevendo z como função de u e v e derivando depois em relação a v.

Answer 1

Vamos representar o operador de derivadas parciais Del com a letra D, devido às limitações do editor.

Precisamos encontrar Dz / Dt, de modo que, pela regra da cadeia, temos:

$\frac{Dz}{Dt} = \frac{Dz}{Dx} \cdot \frac{Dx}{Dt} + \frac{Dz}{Dy} \cdot \frac{Dy}{Dt}$

Primeiramente, vamos encontrar Dz / Dv:

$\frac{Dz}{Dv} = \frac{Dz}{Dx} \cdot \frac{Dx}{Dv} + \frac{Dz}{Dy} \cdot \frac{Dy}{Dv} \\\\ = 2x \cdot ucos(v) + (-2y) \cdot 3u \\\\ = 2 \cdot u \cdot sen(v) \cdot ucos(v) - 2(3uv) \cdot 3u \\\\ = 2u^2sen(v)cos(v) - 18u^2v \\\\ =u^2sen(2v) - 18u^2v \\\\ =u^2(sen(2v) - 18v)$

Podemos escrever z em função de u e v, e derivarmos diretamente, dessa forma:

$z = x^2 - y^2 \\\\ z = (usen(v))^2 - (3uv)^2 \\\\ z = u^2sen^2(v) - 9u^2v^2$

$\frac{Dz}{Dv} = u^2\cdot 2sen(v)cos(v) - 18u^2v \\\\ = 2u^2sen(v)cos(v) - 18u^2v \\\\ =u^2sen(2v) - 18u^2v \\\\ =u^2(sen(2v) - 18v)$

Dessas duas maneiras, podemos encontrar a derivada parcial de z.

Obs.: A identidade trigonométrica usada no final foi: 2sen(x)cos(x) = sen(2x).

Espero ter ajudado.