Question

derivada de lnx pela definição

Answer 1

LIm     ln (x+h)  - ln x
h-->0  -------------------
                   h

LIm     ln x*(1+h/x)  - ln x
h-->0  ------------------------
                   h


LIm     ln x+ ln (1+h/x)  - ln x
h-->0  -----------------------------
                   h

LIm        ln (1+h/x)  
h-->0  ---------------------
                   h


LIm        (1/h) *ln (1+h/x)  
h-->0  

LIm        ln (1+h/x)^(1/h) 
h-->0  


####### façamos  h/x=t   ==> h=xt  ...quando h--> 0 , t -->0

LIm        ln (1+t)^(1/xt) 
t-->0  

LIm        ln [(1+t)^(1/t) ]^(1/x)
t-->0  

LIm       (1/x) * ln (1+t)^(1/t) 
t-->0

(1/x)  * Lim ln (1+t)^(1/t) 
           t-->0

(1/x)  * ln {  Lim (1+t)^(1/t)  }
                   t-->0

Sabemos que Lim (1+t) ^(1/t)   =  e  ## propriedade do LIMITE 
                      t-->0

=(1/x) * ln e   =1/x  que é a derivada de ln x

Answer 2

$f(x)=ln(x)$

Aplicando a definição:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ln(x+h)-ln(x)}{h}$

Aqui, lembre-se que:

$ln(\frac{a}{b})=ln(a)-ln(b)$

$ln(a^n)=n.ln(a)$

Assim,

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ln(\frac{x+h}{x})}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} ln(\frac{x+h}{x})$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} ln(\frac{x+h}{x})^{\frac{1}{h}}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} ln(1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}}$

Vamos fazer a substituição:

$t=\frac{h}{x} => tx=h$

$h\to0=>t\to0$

Temos que:

$f'(x) = \lim_{t \to 0} ln(1+t)^{\frac{1}{tx}}$

$f'(x) = \lim_{t \to 0} ln((1+t)^{\frac{1}{t}})^{\frac{1}{x}}$

$f'(x) = \lim_{t \to 0} {\frac{1}{x}}ln(1+t)^{\frac{1}{t}}$

$f'(x) = {\frac{1}{x}} \lim_{t \to 0} ln(1+t)^{\frac{1}{t}}$

$f'(x) = {\frac{1}{x}} ln(\lim_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}})$

Aqui, lembre-se do Limite Exponencial Fundamental:

$\lim_{x\to \infty} (1+\frac{1}{x})^x=e$

Fazendo:

$t=\frac{1}{x}=>x=\frac{1}{t}$

$x \to \infty=> t\to0$

Logo:

$\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}}=e$

Observe que este limite é o limite apresentado em f'(x). Então:

$f'(x) = {\frac{1}{x}} ln(e)$

Aqui, lembre-se que:

$ln(e) = 1$

Então, concluímos que:

$f'(x) = {\frac{1}{x}} (1)$

$f'(x) = {\frac{1}{x}}$