Question

x³ + 11x² + 38x + 40, como fatorar esse polinomio?

Answer 1

P(x)=X³ + 11x² + 38x + 40 quando jogamos no polinomio x=-2 temos uma raiz .

aplicando briot-ruffini a equação ira para grau 2

∴x²+9x+20 
soma= -9
produto=20
raízes serão -4 e -5

S={-2;-4;-5}

Aplicando a fatoração de D'Alebert
p(x)=an.(x-α1)(x-α2)*...*(x-αn)

∴p(x)= 1.(x+2)(x+4)(x+5)

Answer 2

x³ + 11x² + 38x + 40 =0

geralmente uma raiz (ou mais ) é um divisor do termo sem a incógnita (isso é um teorema) , aqui é o 40..

divisores de 40 {-40,-20, -10, -8,-5,-4,-2,-1 , 1,2,4,5,8,10,20,40}

Teríamos que testar todos, o -5 é uma raiz....então x=-5 ==>x+5  é um divisor deste polinômio, vou abaixar um grau para obter uma equação de segundo grau e poder calcular as outras duas raízes...

Vou usar o método das chaves, poderia usar o dispositivo de Ruffini que eu acho mais prático, mas usarei o das chaves porque é o mais conhecido..

x³+11x²+38x+40  |  x+5
                               x² +6x +8  é o quociente 
-x³-5x²

6x²+38x+40
-6x²-30x 

8x+40
-8x-40

Resto = 0

  x² +6x +8=0

x'=[-6+√(36-32)]/2=(-6+2)/2=-2


x''=[-6-√(36-32)]/2=(-6-2)/2=-4

As raízes são {-2,-4,-5}

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Agora para finalizar:

Esta relação é verdadeira.

ax³+bx+cx+d= a*(x-x')(x-x'')(x-x''').....x',x'',x''' são as raízes

x³ + 11x² + 38x + 40     ...o a é o coeficiente na frente de x² ..a=1 e as raízes, como calculado , são {-2,-4,-5}.

a nossa fatoração fica

x³ + 11x² + 38x + 40 =(x+2)(x+4)(x+5)  é a resposta