Question

4) (2,5 pontos) Resolva a inequação -x⁴+2x²+8≤0

Answer 1

Olá

Vamos fatorar $-x^{4}+2x^{2}+8 = 0$.

Chamando de $x^{2} = y$, temos:

$-y^{2}+2y+8=0$

Resolvendo por Bháskara:

$y = \frac{-2 +- \sqrt{2^{2}-4.(-1).8} }{2(-1)}$
$y = \frac{-2+- \sqrt{4+32} }{-2}$
$y = \frac{-2+- \sqrt{36} }{-2}$
$y = \frac{-2+-6}{-2}$

$y' = \frac{-2+6}{-2} = \frac{4}{-2} = -2$
$y" = \frac{-2-6}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4$

Daí, temos que:

se y = -2, $x^{2} = -2$. Como não possui raiz nos reais, deixamos na forma $x^{2}+2=0$

se y = 4, x = -2 ou x = 2.

Portanto, a forma fatorada é 

$-(x-2)(x+2)(x^{2}+2) \leq 0$
$(-x+2)(x+2)(x^{2}+2) \leq 0$

Daí, temos 3 funções: $f(x) = -x+2$, $g(x) = x+2$ e $h(x)=x^{2}+2$

Devemos analisar o sinal de cada uma dessas três funções.:
 
             -2         2
 f(x)    +  |     +    |  -
g(x)    -   |     +    | +
h(x)    +  |     +    | +
$\leq$ -   |   +   |  -

ou seja, a função inicial é menor ou igual a 0 no intervalo (-inf,-2] U [2, inf)

Answer 2

S = {x ∈ IR | x ≤ - 2 e x ≥ 2}

Explicação:

- x⁴ + 2x² + 8 ≤ 0

Faremos uma mudança de variável, assim:

x² = y

Então:

- y² + 2y + 8 ≤ 0

Agora, resolvemos como uma equação do 2° grau.

a = - 1, b = 2, c = 8

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² - 4.(-1).8

Δ = 4 + 32

Δ = 36

y = - b ± √Δ

          2a

y = - 2 ± √36

         2(-1)

y = - 2 ± 6

       - 2

y' = 4 = - 2

     - 2

y'' = - 8 = 4

      - 2

Então:

x² = - 2        ou      x² = 4

x² + 2 = 0            x = 2 ou x = - 2

Então, a equação - x⁴ + 2x² + 8 ≤ 0 pode ser fatorada como:

- (x + 2)·(x - 2)·(x² + 2) ≤ 0

(- x - 2)·(x - 2)·(x² + 2) ≤ 0

Fazendo o estudo do sinal, fica:

- - - - - (- 2) + + + + + (2) - - - - -

Como os valores devem ser menores ou iguais a zero, a solução está no intervalo:

S = {x ∈ IR | x ≤ - 2 e x ≥ 2}

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