Question

Nos estudos sobre o plano, temos que qualquer plano pode ser representado por uma equação, e uma das formas para determinar a equação desse plano é conhecendo três pontos desse plano, assim, escolhendo um ponto genérico do plano é possível escrever três vetores coplanares. Os pontos A=(2,1,-1) B=( -1,-1,0) e C = (3,3,-4) pertencem ao plano . Sabendo que D também pertence ao plano assinale a alternativa correta: A D=(0,0,0) B D=(4,1,1) C D=(2,2,2) D D=(3,-2,3) E D=(4,4,5)

Answer 1

Passos para achar a equacao de um plano:

Primeiro escolhemos um ponto e o subtraimos dos outros dois:

AB=B-A=(-3,-2,1)
AC=C-A=(1,2,-3)

Agora tiramos o produto vetorial dos nosso vetores novos:

AB×AC= (4, -8, -4)

Pronto, esses sao os coeficientes de x, y e z nessa ordem:

4x-8y-4z=K

Sabemos que o que calculamos sera igual a uma constante K, para calcula-la nos vamos substituir o ponto A na equacao:

4(2)-8(1)-4(-1)=K
8-8+4=K
K=4

4x-8y-4z=4

Podemos simplificar dividindo todo mundo por 4:

x-2y-z=1

Agora temos nossa equacao do plano, vamos substituir os pontos de D um por um pra ver qual se encaixa na equacao:

(0,0,0):

(0)-2(0)-(0)=1
0=1 (Falso)

(4,1,1):

4-2(1)-1=1
4-2-1=1
1=1 (Verdadeiro)

Achamos nossa resposta

Answer 2

A alternativa correta é b) D = (4,1,1).

A equação cartesiana de um plano é da forma ax + by + cz = d, sendo n = (a,b,c) o vetor normal a ele.

Como os pontos A = (2,1,-1), B = (-1,-1,0) e C = (3,3,-4) pertencem ao plano, vamos determinar os vetores AB e AC:

AB = (-3,-2,1)

AC = (1,2,-3).

Para determinar o vetor normal, precisamos calcular o produto vetorial AB x AC.

Logo,

AB x AC = 4i - 8j - 4k

AB x AC = (4,-8,-4).

Assim, a equação do plano é 4x - 8y - 4z = d.

Substituindo o ponto B:

4.(-1) - 8.(-1) - 4.0 = d

d = -4 + 8

d = 4.

Portanto, a equação do plano é 4x - 8y - 4z = 4.

Perceba que D = (4,1,1) pertence ao plano, pois:

4.4 - 8 - 4 = 16 - 12 = 4.

Para mais informações sobre plano, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/18196418