Question

Dez vagas de um estacionamento serão ocupadas por 6 carros, sendo: 3 pretos, 2 vermelhos e 1 branco.
Considere que uma maneira de isso ocorrer se distingue de outra tão somente pela cor dos carros, o total de possibilidade de os seis carros ocuparem as dez vagas é igual a:

a) 12600
b) 16200
c) 21600
d) 26100

Answer 1

Para responder essa questão temos de usar permutação com repetição. Permutação com repetição acontece quando temos dados de um conjunto que se repetem constantemente. Sua fórmula é dada por:

P(k,n) = $\frac{n!}{k!}$, onde:

n é o total de observações.

k é o valor de um dado qualquer que se repete.

Separando as informações da questão temos:

n = 10

k₁ = 3

k₂ = 2

k₃ = 1

k₄ = 4

Temos que deixar claro que as ultimas 4 vagas que não serão preenchidas também tem que ser contabilizadas. Depois de feito isso basta que botemos na fórmula:

P = $\frac{10!}{3! * 2! * 1! * 4!}$

P = $\frac{10*9*8*7*6*5*4!}{3*2*1*2*1*4!}$

P = $\frac{151.200}{12}$ = 12.600,00

Logo temos a resposta letra a) 12.600.

Answer 2

São 12.600 combinações possíveis para se estacionar os seis carros. Ou seja, a alternativa correta é a Letra A.

Resolução

A questão se trata de uma permutação com repetição. Devemos determinar o número de maneiras em que é possível estacionar os carros sabendo que os veículos com a mesma cor são elementos repetidos.

Além disso, como temos 6 veículos e 10 vagas no estacionamento sempre irá sobrar 4 vagas. Essas 4 vagas vazias são mais um elemento que irá se repetir ao longo das possíveis combinações.

Para calcular uma permutação com repetição, devemos dividir o fatorial total de elementos, que igual a 10, pelo produto do fatorial dos elementos que se repetem.

Os elementos que se repetem são o número de vagas vazias, o número de carros pretos, brancos e vermelhos. Logo, temos:

$=\dfrac{10!}{4!\cdot3!\cdot2!\cdot1!}=\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot\backslash\!\!6\cdot5\cdot\backslash\!\!\!4!}{\backslash\!\!4!\cdot\backslash\!\!6\cdot2}\\\\\\ =\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot5}{2}=\boxed{\begin{array}{lr}12.600~maneiras\end{array}}$

Portanto, existem 12.600 maneiras possíveis de estacionar os seis carros.

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