Question

Em uma classe de 30 alunos, o professor deseja organizar grupos de 6 para trabalhar no laboratório. Quantos grupos distintos poderá formar?

Answer 1

Combinação 30,6 = 30!/6!(30 - 6)!
C = 30!/6! . 24!
simplificando os fatoriais: C = 30.29.28.27.26.25/6.5.4.3.2.1
C = 593775 grupos distintos

Answer 2

Quando queremos saber a quantidade de grupos distintos formados por uma quantidade de elementos únicos*, usamos a fórmula geral da combinação simples: C(n,k) = (n!)/(k!*(n-k)!); em que n é a quantidade total de elementos, e k é a quantidade de elementos em cada grupo.

Uma outra característica que também deve estar presente é o fato de que, para um grupo ser diferente de outro, algum elemento deve ser tirado e outro entrar no lugar; não simplesmente mudar de ordem dentro do grupo. Por exemplo: o grupo de 3 elementos (A, B, C) é o mesmo grupo de 3 elementos (B, C, A); nesse exemplo - que NÃO é o desta questão -, só se conta 1 na quantidade de grupos.

(*por exemplo, não se pode colocar um mesmo elemento num mesmo grupo de 3 elementos, assim: [A, A, B] ou [B, B, C], etc)

Pois bem, a questão se amolda exatamente nas características que mencionei, portanto usamos os dados dela na fórmula geral da combinação simples:
C(30,6) = (30!)/(6!*(30-6)!)
C(30,6) = (30*29*28*27*26*25*24!)/(6!*24!)
C(30,6) = (30*29*28*27*26*25*)/(6!)
C(30,6) = (30*29*28*27*26*25)/(6*5*4*3*2*1)
C(30,6) = (5*29*7*9*13*5)/(1*1*1*1*1*1)
C(30,6) = 593775
Em uma classe de 30 alunos, existem 593775 grupos distintos de 6 elementos que podem ser formados.