Question

Determine o valor de k que satisfaz a igualdade:

$\log_{k}121=\log_{k^2}11+\log_{3k}11$

Answer 1

Antes de tudo, devemos estabelecer as restrições para o valor de $k$. Sabendo que as bases dos logaritmos devem ser positivas e diferentes de $1$, as restrições são:

$\bullet\;\;k>0\;\;\;\text{e}\;\;\;k \neq 1\\ \\ \bullet\;\;k^{2}>0\;\;\;\text{e}\;\;\;k^{2} \neq 1\\ \\ \bullet\;\;3k>0\;\;\;\text{e}\;\;\;3k \neq 1$


Fazendo uma mudança de base de todos os logaritmos envolvidos na equação para uma base $c$ qualquer ($c>0$ e $c \neq 1$), temos

$\mathrm{\ell og}_{k\,}121=\mathrm{\ell og}_{k^{2}\,}11+\mathrm{\ell og}_{3k\,}11\\ \\ \dfrac{\mathrm{\ell og}_{c\,}121}{\mathrm{\ell og}_{c\,}k}=\dfrac{\mathrm{\ell og}_{c\,}11}{\mathrm{\ell og}_{c}\left(k^{2} \right )}+\dfrac{\mathrm{\ell og}_{c\,}11}{\mathrm{\ell og}_{c}\left(3k \right )}\\ \\ \dfrac{\mathrm{\ell og}_{c}\left(11^{2} \right )}{\mathrm{\ell og}_{c\,}k}=\dfrac{\mathrm{\ell og}_{c\,}11}{2\mathrm{\,\ell og}_{c\,}k}+\dfrac{\mathrm{\ell og}_{c\,}11}{\mathrm{\ell og}_{c\,}3+\mathrm{\ell og}_{c\,}k}\\ \\ \dfrac{2\mathrm{\,\ell og}_{c\,}11}{\mathrm{\ell og}_{c\,}k}=\dfrac{\mathrm{\ell og}_{c\,}11}{2\mathrm{\,\ell og}_{c\,}k}+\dfrac{\mathrm{\ell og}_{c\,}11}{\mathrm{\ell og}_{c\,}3+\mathrm{\ell og}_{c\,}k}$


Já que $c$ pode assumir qualquer valor, analisando a última igualdade, nota-se que uma escolha conveniente para a base $c$ seria

$c=11$

apenas para facilitar os cálculos. Fazendo a substituição, temos


$\dfrac{2\mathrm{\,\ell og}_{11\,}11}{\mathrm{\ell og}_{11\,}k}=\dfrac{\mathrm{\ell og}_{11\,}11}{2\mathrm{\,\ell og}_{11\,}k}+\dfrac{\mathrm{\ell og}_{11\,}11}{\mathrm{\ell og}_{11\,}3+\mathrm{\ell og}_{11\,}k}\\ \\ \dfrac{2\cdot \left(1\right)}{\mathrm{\ell og}_{11\,}k}=\dfrac{\left(1\right)}{2\mathrm{\,\ell og}_{11\,}k}+\dfrac{\left(1\right)}{\mathrm{\ell og}_{11\,}3+\mathrm{\ell og}_{11\,}k}\\ \\ \dfrac{2}{\mathrm{\ell og}_{11\,}k}=\dfrac{1}{2\mathrm{\,\ell og}_{11\,}k}+\dfrac{1}{\mathrm{\ell og}_{11\,}3+\mathrm{\ell og}_{11\,}k}$


Para evitar carregar os cálculos com várias notações de logaritmos, faremos as seguintes substituições:

$x=\mathrm{\ell og}_{11\,}k\\ \\ a=\mathrm{\ell og}_{11\,}3$


Como o logaritmo pode assumir qualquer valor real (a imagem da função logarítmica é $\mathbb{R}$), então as únicas restrições para $x$ são aquelas provenientes das restrições iniciais para $k$. Sendo assim, vamos resolver a seguinte equação para a variável $x$:

$\dfrac{2}{x}=\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{a+x}$


Multiplicando os dois lados da equação acima por $2x\left(a+x \right )$, temos

$\dfrac{2x\left(a+x \right )\cdot2}{x}=\dfrac{2x\left(a+x \right ) \cdot 1}{2x}+\dfrac{ 2x\left(a+x \right ) \cdot 1}{a+x}\\ \\ 4\left(a+x \right )=\left(a+x \right )+2x\\ \\ 4a+4x=a+x+2x\\ \\ 4x-x-2x=a-4a\\ \\ x=-3a$


Substituindo de volta para a variável original $k$, temos

$\mathrm{\ell og}_{11\,}k=-3 \mathrm{\,\ell og}_{11\,}3\\ \\ \mathrm{\ell og}_{11\,}k=\mathrm{\ell og}_{11}\left(3^{-3} \right )\\ \\ \mathrm{\ell og}_{11\,}k=\mathrm{\ell og}_{11}\dfrac{1}{3^{3}}\\ \\ \mathrm{\ell og}_{11\,}k=\mathrm{\ell og}_{11\,}\dfrac{1}{27}\\ \\ \boxed{k=\dfrac{1}{27}}$


É fácil verificar que este valor satisfaz as restrições iniciais para $k$. Basta substituir nas condições dadas inicialmente e verificar que todas as sentenças são verdadeiras:

$\bullet\;\;\dfrac{1}{27}>0\;\;\;\text{e}\;\;\;\dfrac{1}{27} \neq 1\\ \\ \bullet\;\;\left(\dfrac{1}{27} \right )^{2}>0\;\;\;\text{e}\;\;\;\left(\dfrac{1}{27} \right )^{2} \neq 1\\ \\ \bullet\;\;3\cdot \dfrac{1}{27}>0\;\;\;\text{e}\;\;\;3 \cdot \dfrac{1}{27} \neq 1$


Resposta: $k=\dfrac{1}{27}$.