Question

Uma formiga encontra-se no vértice P e pretende chegar ao vértice Q pela superfície do icosaedro regular da figura a seguir.Esse icosaedro regular possui aresta 4 cm.O menor caminho para ir de P para Q sobre a superfície do solido é.

Answer 1

Uma das formas de podermos visualizar melhor qual seria o percurso de menor caminho é planificar o poliedro na área de interesse da questão. No plano, sabemos facilmente traçá-lo: é o segmento que une os pontos de início (P) e fim (Q).

A imagem da planificação citada encontra-se anexada à solução. Na figura, os pontos A, B, C, D e H são apenas pontos auxiliares.

Nosso problema se reduziu, então, a descobrir a medida do segmento PQ. O segmento PH é a altura de um dos triângulos equiláteros das faces e, devido a isso, AH mede a metade do lado desse triângulo. Assim, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras, considerando que $\ell$ é o lado do triângulo equilátero e $h$ é a sua altura:

$PQ^2 = PH^2+AH^2\\\\ PQ^2 = h^2 + \left(\dfrac{\ell}{2}+\ell+\ell\right)^2$

Sabe-se que $h=\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}$. Então:

$PQ^2 = \left(\dfrac{\ell\sqrt3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{5\ell}{2}\right)^2\\\\ PQ^2 = \dfrac{\ell^2\cdot3}{4}+ \dfrac{25\ell^2}{4}\\\\ PQ^2 = \dfrac{28\ell^2}{4}\\\\ PQ^2 = 7\ell^2\\\\ PQ = \ell\sqrt{7}$

É dado que o valor da aresta é 4 cm. Como a aresta é também o lado de cada triângulo, temos que $\ell = 4~cm$. Portanto:

$\boxed{PQ = 4\sqrt{7}~cm}\Longrightarrow \text{Letra }\bold{E}$

Logo, o menor caminho entre P e Q sobre a superfície do sólido mede 4√7 cm (Alternativa E).