Question

prove que os pontos A (1, 4), B (a-1, 3a-2)e C (0, 1) são colineares para qualquer valor de a

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Iasmim, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para provar que os pontos A(1; 4), B(a-1; 3a-2) e C(0; 1) são colineares para qualquer valor de "a".

ii) Veja: se os três pontos dados acima são colineares para qualquer valor de "a", então será igual a "0" o determinante da matriz formada a partir das coordenadas de cada ponto dado. Então vamos formar a matriz e depois calcularemos o seu determinante (d). Se der igual a "0", então é porque qualquer que venha a ser o valor de "a" os pontos serão, sim, colineares (ou seja, estão alinhados). Vamos formar a matriz e já deixá-la no ponto de desenvolvê-la (regra de Sarrus):

|..1.........4.........1|..1............4|
|a-1.....3a-2.....1|a-1.....3a-2|
|..0.........1........1|..0............1| ----- desenvolvendo, teremos:

d = 1*(3a-2)*1 + 4*1*0 + 1*(a-1)*1 - [0*(3a-2)*1 + 1*1*1 + 1*(a-1)*4]
d = 3a-2 + 0 + a-1 - [0 + 1 + 4a-4]
d = 4a - 3 - [4a - 3] ---- retirando-se os colchetes, teremos:
d = 4a - 3 - 4a + 3 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
d = 0 <--- Veja: como o determinante deu igual a "0", então está provado que os pontos dados são colineares (ou estão alinhados) para qualquer valor de "a".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.