Question

Calcule o valor da expressão $\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5...}}}$

Answer 1

$x=\sqrt{5\cdot \underbrace{\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\ldots}}}}_{x}}\\ \\ \\ x=\sqrt{5x}\\ \\ x^{2}=5x\\ \\ x^{2}-5x=0\\ \\ x \cdot \left(x-5 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x=0\text{ (n\~{a}o serve)}&\text{ ou }&x-5=0 \end{array}\\ \\ x-5=0\\ \\ x=5 \Rightarrow \boxed{\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\ldots}}}}=5}$

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Explicação de por que zero não serve:


Basicamente, farei uma demonstração por indução em $n$, onde $n$ é o número de "cincos" aninhados nas raízes quadradas:

$\bullet\;\;n=1 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; \sqrt{5}=5^{1/2}=5^{\frac{2-1}{2}}\\ \\ \bullet\;\;n=2 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; \sqrt{5\sqrt{5}}=5^{3/4}=5^{\frac{2^{2}-1}{2^{2}}}\\ \\ \bullet\;\;n=3 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; \sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5}}}=5^{7/8}=5^{\frac{2^{3}-1}{2^{3}}}$


Suponhamos que para $n=k-1$ cincos aninhados nas raízes quadradas, o valor da expressão seja

$\bullet\;\;n=k-1 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; \sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{\ldots}}}}=5^{\frac{2^{k-1}-1}{2^{k-1}}}$

(esta é a hipótese de indução).


Devemos verificar que, para $n=k$, a expressão será

$5^{\frac{2^{k}-1}{2^{k}}}$


Temos que para $n=k$, a expressão é

$\bullet\;\;n=k \;\;\;\Rightarrow\;\;\; \sqrt{5\cdot 5^{\frac{2^{k-1}-1}{2^{k-1}}}}\\ \\ =\left(5^{1+\frac{2^{k-1}-1}{2^{k-1}}} \right )^{1/2}\\ \\ =\left(5^{\frac{2^{k-1}+2^{k-1}-1}{2^{k-1}}} \right )^{1/2}\\ \\ =\left(5^{\frac{2 \cdot 2^{k-1}-1}{2^{k-1}}} \right )^{1/2}\\ \\ =\left(5^{\frac{2^{k}-1}{2^k-1}} \right )^{1/2}\\ \\ =\left(5^{\frac{2^{k}-1}{2^{k-1}\cdot 2}} \right )\\ \\ =\boxed{5^{\frac{2^{k}-1}{2^{k}}}}$

como queríamos demonstrar, o padrão se repete para $n=k$.


Como o número de cincos aninhados se repete indefinidamente, então $n \to \infty$, e tirando o limite do expoente, temos

$\underset{n \to \infty}{\mathrm{\ell im}}\dfrac{2^{n}-1}{2^{n}}\\ \\ =\underset{n \to \infty}{\mathrm{\ell im}}\dfrac{2^{n}}{2^{n}}-\underset{n \to \infty}{\mathrm{\ell im}}\dfrac{1}{2^{n}}\\ \\ =\underset{n \to \infty}{\mathrm{\ell im}}1-0\\ \\ =1-0\\ \\ =1$


Como o expoente tende a $1$ quando $n \to \infty$, então a expressão, no limite, é

$\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{\ldots}}}}\\ \\= \underset{n \to \infty}{\mathrm{\ell im}}5^{{\frac{2^{n}-1}{2^{n}}}}\\ \\=5^{1}\\ \\ =\boxed{5}$

Answer 2

Calcule o valor da expressãoX = 
                                                                                                       
Como podemos ver V5 é repetitiva fazemos que V5x, temos
                                      
x = V5x ==> (x)² =  (V5x)²

x² = 5x ==> x² - 5x = 0

x(x - 5 ) = 0

x1 = 0

x2 - 5 = 0  ==>  x2 = 5