Question

O objetivo do meÌ?todo de Lagrange eÌ? determinar o valor do polinoÌ‚mio interpolador p na abcissa upsilon, sem a necessidade de determinar previamente os coeficientes de p. Dados as abscissas dos nodos x subscript 1 less than x subscript 2 less than... less than x subscript n, constrói-se um conjunto de n polinoÌ‚mios auxiliares Li dados por:

Correlacionando o texto a notação de Lagrange, Dada a Tabela a seguir, determine o valor de f (8), fazendo a interpolação na forma de Lagrange:



x 3 7 10

F(x) 5 9 11

Answer 1

L0(x)= (x-x1) (x-x2)/ (x0-x1) (x0-x2)

L0(x)= (x-7) (x-10)/ (37) (3-10)

L0(x)= x2-17x+10/  28

f(x0)L0(x)=5 x2-17x+10/  28

f(x0)L0(x)=0,18x2-3,04x+12,5

 L1(x)= (x-x0) (x-x2)/ (x1-x0) (x1-x2)

L1(x)= (x-3) (x-10)/ (7-3) (7-10)

L1(x)= -x2-13x+30/ 12

f(x1)L1(x)= -9 x2-13x+30/  12

f(x1)L1(x)= -0,75x2+9,75x-22,5

 

L2(x)= (x-x0) (x-x1)/ (x2-x0) (x2-x1)

L2(x)= (x-3) (x-7)/ (10-3) (10-7)

L2(x)= -x2-10x+21/ 21

f(x2)L2(x)= 11  x2-10x+21/  21

f(x2)L2(x)= 0,52x2-5,24x+11

p(x)= f(x0)L0(x)+ f(x1)L1(x)+ f(x2)L2(x)

p(x)= 0,18x2-3,04x+12,5-0,75x2+9,75x-22,5+0,52x2-5,24x+11

p(x)= -0,05x2+1,47x+1

 

f(8) = p(8) = -0,05.82+1,47.8+1

f(8) = p(8) = 9,56

Answer 2

Resposta:

9,76

Explicação passo-a-passo:

O método de Lagrange consiste em determinar o valor de uma função através da interpolação de um conjunto de pontos da mesma função.

Para isso, precisamos determinar o polinômio para cada uma dos valores da função, utilizando a seguinte equação:

$L_i(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_i-x_1)(x_i-x_2)...(x_i-x_n)}$

Dessa maneira, encontramos os seguintes resultados para cada um dos valores de X:

$f_0L_0(x)=5(\frac{x^2-17x+70}{28}) \\ \\ f(1)L_1(x)=-9(\frac{x^2-13x+30}{12}) \\ \\ f(2)L_2(x)=11(\frac{x^2-10x+21}{21})$

Por fim, somamos os três polinômios para determinar o polinômio de Lagrange. Então, podemos substituir o valor de f(8) e determinar seu resultado.

$f(x)=5(\frac{x^2-17x+70}{28})+-9(\frac{x^2-13x+30}{12})+11(\frac{x^2-10x+21}{21})\\ \\ f(x)=\frac{-4x^2+124x+84}{84}\\ \\ f(8)=\frac{-4\times 8^2+124\times 8+84}{84}=9,76$

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