Question

1) (2,5 pontos) Considere a função de LaTeX: \mathbb{R}ℝ em LaTeX: \mathbb{R}ℝ dada por LaTeX: f(x)=(m^2-4)x+12f(x)=(m2−4)x+12. Analise o crescimento/ decrescimento de LaTeX: ff em função do parâmetro real LaTeX: mm.



2) (2,5 pontos) A função LaTeX: f(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c tem vértice no ponto LaTeX: (2,6)(2,6) e uma raiz no ponto LaTeX: x=5x=5. Determine a expressão de LaTeX: ff (ou, em outras palavras, determine os valores dos coeficientes LaTeX: a\text{, }b\text{ e }c)a, b e c)



3) (2,5 pontos) Sabendo-se que LaTeX: x^2-6x+m>0\text{, }\forall x\in\mathbb{R}x2−6x+m>0, ∀x∈ℝ, determine LaTeX: mm.


4) (2,5 pontos) Resolva a inequação LaTeX: -x^4+2x^2+8 \leq 0

Answer 1

Ola

1) Temos que $f(x)=(m^{2}-4)x+12$ , que é uma função afim, pois é da forma f(x) = ax + b.

Para analisarmos o crescimento e decrescimento de uma função, analisaremos o coeficiente angular "a".

Quando a > 0, a função é crescente.
Quando a < 0, a função é decrescente.

Portanto, teremos:

(1) $m^{2}-4\ \textgreater \ 0$ ↔ m < -2 ou m > 2

(2) $m^{2}-4\ \textless \ 0$ ↔ -2 < m < 2

Logo, a função f será crescente se vale (1) e será decrescente se valer (2).

2) O vértice de uma parábola é definido da seguinte forma:

$x_v = - \frac{b}{2a}$ e $y_v = - \frac{(b^{2}-4ac)}{4a}$

Como $x_v=2$ então temos que:

$2 = - \frac{b}{2a}$
$-b=4a$
$b=-4a$

Temos que (5,0) pertencem à parábola. Daí, temos que:

$(5)^{2}a+5b+c=0$
25a + 5b + c = 0

Como b = -4a, então

25a + 5(-4a) + c = 0
25a - 20a + c = 0
5a + c = 0
c = -5a

O ponto (2,6) também faz parte da parábola. E como b = -4a e c = -5a, temos que:

$(2)^{2}a+2b+c=6$
4a + 2(-4a) - 5a = 6
-a - 8a = 6
-9a = 6
$a = - \frac{2}{3}$

Portanto, $b = -4. \frac{-2}{3} = \frac{8}{3}$ e $c = -5. \frac{-2}{3} = \frac{10}{3}$

A função é : $f(x) = \frac{-2x^{2}+8x+10}{3}$

3) Utilizando o começo da fórmula de Bháskara para resolver $x^{2}-6x+m=0$ , temos que:

Δ = $b^{2}-4ac$
Δ = $(-6)^{2}-4.1.m$
Δ = 36 - 4m

Como x é um número qualquer pertencente aos reais, então Δ ≥ 0. 

Daí, temos que:

36 - 4m ≥ 0
-4m ≥ -36 (multiplicando por -1)
4m ≤ 36
m ≤ 9

Portanto, para qualquer valor de m menor ou igual a 9 será satisfeito a inequação dada no problema. 

4) Vamos fatorar $-x^{4}+2x^{2}+8=0$ .

Chamando de $x^{2}=y$ , temos:

$-y^{2}+2y+8=0$

Resolvendo por Bháskara:

$y = \frac{-2+- \sqrt{2^{2}-4(-1)8} }{2(-1)}$
$y = \frac{-2+- \sqrt{4+32} }{-2}$
$y = \frac{-2+- \sqrt{36} }{-2}$
$y= \frac{-2+-6}{-2}$

$y' = \frac{-2+6}{-2} =-2$
$y" = \frac{-2-6}{-2} = 4$

Daí, temos que:

se y = -2, $x^{2} = -2$ . Como não possui raiz nos reais, deixamos na forma 
se y = 4, x = -2 ou x = 2.

Portanto, a forma fatorada é 

$-(x-2)(x+2)(x^{2}+2) \leq 0$
$(-x+2)(x+2)(x^{2}+2) \leq 0$

Daí, temos 3 funções: f(x) = -x + 2 , g(x) = x + 2  e  $h(x) = x^{2}+2$
Devemos analisar o sinal de cada uma dessas três funções.:  
           -2         2 
f(x)    +  |     +    |  -
g(x)    -   |     +    | +
h(x)    +  |     +    | +
 ≤           -   |   +   |  -

ou seja, a função inicial é menor ou igual a 0 no intervalo (-inf,-2] U [2, inf)