Question

em uma reunião social compareceram n pessoas. Cada uma cumprimenta todas as demais, exceção feita a 4 pessoas que estavam brigadas (cada uma brigada com as outras três). Sabendo que ao todo ocorreram 372 saudações, determine o valor de n.

Answer 1

Olá

Pensei da seguinte forma:

Se as 4 pessoas estivessem de bem, teríamos mais $\frac{4!}{2!2!} = 6$ cumprimentos, totalizando 378 cumprimentos.

Sendo n o número de pessoas, e como a ordem não é importante (pois a pessoa A cumprimentar a pessoa B é o mesmo que B cumprimentar A) utilizaremos a combinação:

$C(n,2)= \frac{n!}{(n-2)!2!} = 378$
$\frac{n(n-1)}{2} = 378$
$n(n-1) = 756$
$n^2-n-756=0$

Resolvendo a equação do segundo grau por Bháskara:

Δ = 1 + 4.3024
Δ = 3025
$n = \frac{1+- \sqrt{3025} }{2}$
$n = \frac{1+-55}{2}$

$n' = \frac{1+55}{2} = \frac{56}{2} = 28$
$n" = \frac{1-55}{2} = - \frac{54}{2} = -27$

Portanto, compareceram 28 pessoas na reunião.