Question

Se a e b são constantes reais tais que 2x-1/x²-2x=a/x+b/x-2 com x diferente de 0 e x diferente de 2, então b-a é igual?

Answer 1

Bom dia

(2x - 1)/(x² - 2x) = a/x + b/(x - 2)

2x/(x² - 2x) - 1/(x² - 2x) = a/x  + b/(x - 2)

(ax - 2a + bx)/((x - 2)*x)

a + b = 2
-2a = -1

a = 1/2
b = 4/2 - 1/2 = 3/2 

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Luiza, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se determinar o valor da diferença "b-a", sabendo-se que "a" e "b" são constantes reais tais que:

(2x-1)/(x²-2x) = a/x + b/(x-2), com x ≠ 0 e x ≠ 2

ii) Veja: vamos desenvolver o 2º membro da expressão acima. O segundo membro é este:

a/x + b/(x-2) ---- mmc = x*(x-2). Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):

[a*(x-2) + b*x]/[x*(x-2)] ---- desenvolvendo, temos;
[ax-2a + bx]/[x²-2x] ----- ordenando o numerador ficamos;
[ax + bx - 2a]/(x²-2x] ---- colocando-se "x" em evidência no numerador, teremos:

[(a+b)x - 2a]/[x²-2x] <--- Este é o 2º membro da expressão dada, após fazermos alguns "ajustes". Então vamos repetir a expressão dada e já colocando o 2º membro de acordo com o que "ajustamos" acima. Assim teremos:

(2x-1)/(x²-2x) =[(a+b)x - 2a]/(x²-2x) ---- note que, para facilitar,  poderemos multiplicar ambos os membros por (x²-2x) com o que iremos ficar apenas com:

2x - 1 = (a+b)x - 2a

Agora veja: como a expressão do 1º membro é igual à expressão do 2º membro, então poderemos comparar os coeficientes  do primeiro membro com os coeficientes do 2º membro. Fazendo isso, teremos:

2 = a + b ---> ou apenas: a + b = 2       . (I)
e
-1 = - 2a ---> ou apenas 2a = 1          . (II)

a partir da expressão (II), já poderemos encontrar o valor de "a". Veja que a expressão (II) é esta:

2a = 1
a= 1/2 <--- Este é o valor de "a".

Agora, para encontrar o valor de "b" vamos na expressão (I) e, nela, substituiremos "a' por "1/2". A expressão (I) é esta:

a + b = 2 --- substituindo-se "a" por "1/2", teremos:
1/2 + b = 2 ----- passando "1/2' para o 2º membro, temos:
b = 2 - 1/2 ----- mmc, no 2º membro é igual a "2". Assim, utilizando,teremos:
b = (2*2 - 1*1)/2
b = (4-1)/2
b = 3/2 <---Este é o valor de "b".

iii) Agora vamos ao que está sendo pedido, que é o valor de "b-a". Assim:

b - a = 3/2 - 1/2 ---- como o denominador é comum, então poderemos fazer assim, o que é a mesma coisa:

b - a = (3-1)/2
b - a = 2/2
b - a = 1 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor pedido de b-a.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.