Question

Cada sucessão a seguir apresenta um padrão lógico. Com base nele, indique a lei de formação em cada sucessão e obtenha seus dois próximos termos.

Answer 1

g)

$\left(\dfrac{1}{1},\,\dfrac{6}{8},\,\dfrac{11}{27},\,\dfrac{16}{64},\,\ldots \right )$


$\bullet\;\;a_{1}=\dfrac{1}{1}\\ \\ a_{1}=\dfrac{1+0}{\left(1 \right )^{3}}\\ \\ a_{1}=\dfrac{1+\left(0 \right ) \cdot 5}{\left(1 \right )^{3}}\\ \\ a_{1}=\dfrac{1+\left(1-1 \right ) \cdot 5}{\left(1 \right )^{3}}\\ \\ \\ \bullet\;\;a_{2}=\dfrac{6}{8}\\ \\ a_{2}=\dfrac{1+5}{\left(2 \right )^{3}}\\ \\ a_{2}=\dfrac{1+\left(1 \right ) \cdot 5}{\left(2 \right )^{3}}\\ \\ a_{2}=\dfrac{1+\left(2-1 \right ) \cdot 5}{\left(2 \right )^{3}}\\ \\ \\ \bullet\;\;a_{3}=\dfrac{11}{27}\\ \\ \bullet\;\;a_{3}=\dfrac{1+10}{\left(3 \right )^{3}}\\ \\ a_{3}=\dfrac{1+\left(2 \right ) \cdot 5}{\left(3 \right )^{3}}\\ \\ a_{3}=\dfrac{1+\left(3-1 \right ) \cdot 5}{\left(3 \right )^{3}}$

$\bullet\;\;a_{4}=\dfrac{16}{64}\\ \\ \bullet\;\;a_{4}=\dfrac{1+15}{\left(4 \right )^{3}}\\ \\ a_{4}=\dfrac{1+\left(3 \right ) \cdot 5}{\left(4 \right )^{3}}\\ \\ a_{4}=\dfrac{1+\left(4-1 \right ) \cdot 5}{\left(4 \right )^{3}}$


Observando o padrão, podemos ver que a lei de formação desta sequência é

$\boxed{a_{n}=\dfrac{1+\left(n-1 \right ) \cdot 5}{n^{3}}}$

(o numerador sempre cresce de $5$ em $5$, e o denominador é o cubo da posição $n$ do termo)


Sendo assim, os dois próximos termos da sequência são:

$\bullet\;\;a_{5}=\dfrac{1+\left(5-1 \right ) \cdot 5}{5^{3}}\\ \\ a_{5}=\dfrac{1+4 \cdot 5}{125}\\ \\ a_{5}=\dfrac{1+20}{125}\\ \\ \boxed{a_{5}=\dfrac{21}{125}}\\ \\ \\ \bullet\;\;a_{6}=\dfrac{1+\left(6-1 \right ) \cdot 5}{6^{3}}\\ \\ a_{6}=\dfrac{1+5 \cdot 5}{216}\\ \\ a_{6}=\dfrac{1+25}{216}\\ \\ \boxed{a_{6}=\dfrac{26}{216}}$


h)

$\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{3}{5},\,\dfrac{8}{13},\,\dfrac{21}{34},\,\ldots \right )$


Sendo

$a_{n}=\dfrac{p_{n}}{q_{n}}$

a lei de formação desta sequência, a partir do segundo termo, percebemos que

$\bullet\;\;$ o numerador do próximo termo é igual à soma do numerador e do denominador do termo anterior:

$p_{n+1}=p_{n}+q_{n}$


$\bullet\;\;$ o denominador do próximo termo é igual à soma do numerador deste termo com o denominador do termo anterior:

$q_{n+1}=p_{n+1}+q_{n}$


Então o próximo termo é sempre dado por

$a_{n+1}=\dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}}\\ \\ a_{n+1}=\dfrac{p_{n}+q_{n}}{p_{n+1}+q_{n}}\\ \\ a_{n+1}=\dfrac{p_{n}+q_{n}}{p_{n}+q_{n}+q_{n}}\\ \\ \boxed{a_{n+1}=\dfrac{p_{n}+q_{n}}{p_{n}+2q_{n}}}$


Tomando como termo atual o quarto termo ($n=4$), obtemos os dois termos seguintes que são

$\bullet\;\;a_{4+1}=\dfrac{p_{4}+q_{4}}{p_{4}+2q_{4}}\\ \\ a_{5}=\dfrac{21+34}{21+2 \cdot 34}\\ \\ a_{5}=\dfrac{55}{21+68}\\ \\ \boxed{a_{5}=\dfrac{55}{89}}\\ \\ \\ \bullet\;\;a_{5+1}=\dfrac{p_{5}+q_{5}}{p_{5}+2q_{5}}\\ \\ a_{6}=\dfrac{55+89}{55+2 \cdot 89}\\ \\ a_{6}=\dfrac{144}{55+178}\\ \\ \boxed{a_{6}=\dfrac{144}{233}}$