Question

[2,5 pontos] Resolva a inequação LaTeX: \textstyle sen^2 x \geqslant \frac{1}{4}sen2x⩾14 com LaTeX: 0 \leqslant x \leqslant 2\pi0⩽x⩽2π. (sugestão: faça LaTeX: t = sen xt=senx e resolva LaTeX: \textstyle t^2 \geqslant \frac{1}{4}t2⩾14)

Answer 1

Utilizando a sugestão dada no enunciado, se substituirmos sen x por t, podemos resolver uma equação quadrática, que é mais fácil que a trigonométrica.

$sen x = t \\ \\ t^2 \geq \dfrac{1}{4} \\ \\ t \geq \sqrt{ \dfrac{1}{4} } \\ \\ t \geq \dfrac{1}{2}$

Portanto, sen x deve ser maior ou igual a 1/2:
sen x ≥ 1/2

Precisamos da função inversa do seno para encontrar o valor de x:
$x = sen^{-1} ( \dfrac{1}{2} )$

O arco cujo seno é igual a 1/2 é π/6 e 5π/6, pela tabela trigonométrica. Então π/6 ≤ x ≤ 5π/6.