Question

.(PUC-SP) Quantos números inteiros e estritamente positivos satisfazem a sentença 1/(x - 20) ≤ 1/(12 - x)?

Answer 1

Resolver a inequação

    $\mathsf{\dfrac{1}{x-20}\le \dfrac{1}{12-x}}$

com $\mathsf{x\in \mathbb{Z_+^*}.}$

Os denominadores não podem se anular. Logo, devemos ter também

    $\mathsf{x\ne 12\quad e\quad x\ne 20.}$

Passe todos os termos para o mesmo lado da inequação:

    $\mathsf{\dfrac{1}{x-20}-\dfrac{1}{12-x}\le 0}$

Reduza as frações ao mesmo denominador comum:

    $\mathsf{\dfrac{12-x}{(x-20)(12-x)}-\dfrac{x-20}{(x-20)(12-x)}\le 0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{12-x-(x-20)}{(x-20)(12-x)}\le 0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{12-x-x+20}{(x-20)(12-x)}\le 0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{32-2x}{(x-20)(12-x)}\le 0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{2\cdot (16-x)}{(x-20)(12-x)}\le 0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{16-x}{(x-20)(12-x)}\le 0\qquad (i)}$

Agora temos uma inequação-quociente. Vamos estudar os sinais de cada fator pelo quadro de sinais abaixo:

    $\large\begin{array}{ll}\mathsf{16-x}&\mathsf{\qquad\overset{++++++++++}{\textsf{---------}\!\!\underset{12}{\circ}\!\!\textsf{---------}}\!\!\!\underset{16}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\overset{----------}{\textsf{---------}\!\!\!\underset{20}{\circ}\!\!\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}}\\\\ \mathsf{x-20}&\mathsf{\qquad\overset{----------------}{\textsf{---------}\!\!\underset{12}{\circ}\!\!\textsf{---------}\!\!\!\underset{16}{\bullet}\!\!\!\textsf{---------}}\!\!\!\underset{20}{\overset{0}{\circ}}\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}}\\\\ \mathsf{12-x}&\mathsf{\qquad\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\underset{12}{\overset{0}{\circ}}\!\!\overset{----------------}{\textsf{---------}\!\!\!\underset{16}{\bullet}\!\!\!\textsf{---------}\!\!\!\underset{20}{\circ}\!\!\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}}\end{array}$

Fazendo o jogo de sinais para o quociente, temos

    $\large\begin{array}{ll}\mathsf{\dfrac{16-x}{(x-20)(12-x)}}&\mathsf{\qquad\overset{----}{\textsf{---------}}\!\!\underset{12}{\circ}\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\underset{16}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\overset{----}{\textsf{---------}}\!\!\!\underset{20}{\circ}\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}}\end{array}$

Como queremos que o quociente seja menor ou igual a zero, o intervalo de interesse é

    $\mathsf{x<12\quad ou\quad 16\le x<20.}$

Estamos interessados apenas nos inteiros estritamente positivos. Logo, o conjunto solução será

    $\mathsf{S=\{1,\,2,\,3,\,\ldots,\,10,\,11\}\cup \{16,\,17,\,18,\,19\}}$

e o total de elementos do conjunto acima é

    $\mathsf{11+4=15~elementos\qquad \checkmark}$

Resposta:  Existem 15 números inteiros e estritamente positivos que satisfazem a sentença.

Bons estudos! :-)