Question

O critério da raiz ou de couchy nos mostra se uma determinada série é convergente ou divergente:mostre com cálculos utilizando se desse critério o porque da série abaixo ser divergente. (4n+1)^n / (2n+5)^n

Answer 1

Olá

Calcularemos o seguinte limite:

$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n}$ (*)

Se L < 1 a série converge. Se L > 1 ou L = 1+, a série diverge.

Temos que $u_n = ( \frac{4n+1}{2n+5})^n$.

Logo, substituindo em (*) e calculando o limite, obtemos:

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{( \frac{4n+1}{2n+5})^n } = \lim_{n \to \infty} \frac{4n+1}{2n+5} =$

Lembrando que para calcular o limite com n tendendo ao infinito, precisamos colocar o maior grau em evidência no numerador e denominador.

Lembrando também que $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{n(4+ \frac{1}{n}) }{n(2+ \frac{5}{n}) } = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{2} = 2$

Como L = 2 > 1, então a série é divergente.