Question

Sabendo que Q(1, x) é um ponto do 4° quadrante e que a distância de Q ao ponto P(0,4) é 5√2, calcule o valor de x.

Answer 1

O valor de x é -3.

Considere dois pontos do plano cartesiano A = (xa,ya) e B = (xb,yb).

A distância entre os pontos A e B é definida por:

$d=\sqrt{(xb-xa)^2+(yb-ya)^2}$.

De acordo com o enunciado, temos os pontos P = (0,4) e Q = (1,x), sendo que a distância entre eles é igual a 5√2.

Sendo assim, utilizando a fórmula descrita acima, obtemos:

$5\sqrt{2} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (x-4)^2}$

Para "eliminarmos" a raiz quadrada, podemos elevar ambos os lados da igualdade acima ao quadrado:

(5√2)² = 1 + (x - 4)²

50 = 1 + x² - 8x + 16

x² - 8x - 33 = 0

Temos aqui uma equação do segundo grau.

Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = b² - 4ac

Δ = (-8)² - 4.1.(-33)

Δ = 64 + 132

Δ = 196

Como Δ > 0, então a equação possui duas soluções reais distintas.

$x=\frac{-b+-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x=\frac{8+-\sqrt{196}}{2}$

$x=\frac{8+-14}{2}$

$x'=\frac{8+14}{2}=11$

$x''=\frac{8-14}{2}=-3$.

Entretanto, o ponto Q pertence ao 4° quadrante. No 4° quadrante, a coordenada y é negativa.

Logo, x = -3.

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