Question

determine o domínio de cada função.
$y = 3x {}^{2} + 1 \\ y = \frac{3x}{4} \\ y = \sqrt{ x + 3} \\ y = \frac{3x + 3}{x }$

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Mabila, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar o domínio de cada uma das funções abaixo discriminadas.

Antes de iniciar, veja que o domínio de uma função é o conjunto em que a variável "x" poderá assumir valores.
Dito isso, então vamos determinar o domínio de cada uma das funções propostas.

i.a) y = 3x² + 1

Note que não há nenhuma restrição a que "x" assuma qualquer que seja o valor real. Então o domínio da função do item "a" acima será:

Todos os reais <--- Esta é a resposta.

Se quiser, também poderá apresentar o domínio assim, o que dá no mesmo,  para a função y = 3x² + 1:

S = {x ∈ R}.

Ou ainda também se quiser, o domínio poderá ser apresentado do seguinte modo, para a função y = 3x² + 1:

S = (-∞; +∞).

i.b) y = (3x)/4

Aqui também não nenhuma restrição a que "x" assuma qualquer valor real. Logo, o domínio da função y = (3x)/4, a exemplo da função do item "a", também será:

Todos os Reais <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

O domínio da função y = (3x)/4 também poderia ser dado do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = {x ∈ R}.
ou
S = (-∞; +∞).

i.c) y = √(x+3)

Aqui já há uma restrição quanto ao valor de "x". No âmbito dos Reais radicais de índice par só admitem radicandos que sejam maiores ou iguais a zero. Então vamos impor que o radicando (x+3) seja maior ou igual a zero. Logo, teremos:

x + 3 ≥ 0
x ≥ - 3 ------ Esta é a resposta para a questão do item "c". Ou seja, o domínio da função y = √(x+3) será o que demos aí em cima.

Se quiser, você também poderá apresentar o domínio da função y = √(x+3) da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {x ∈ R | x ≥ -3}.
ou
S = [-3; +∞).

i.d) y =  (3x+3)/x

Note que aqui também há uma restrição. Como não existe divisão por "zero", então "x" terá que ser, NECESSARIAMENTE, diferente de "0". Assim, deveremos impor que o denominador "x" deverá ser diferente de zero, pelo que o domínio da função y = (3x+3)/x será:

x ≠ 0 <--- Esta é a resposta para a questão do item "d". Ou seja, o domínio da função y = (3x+3)/x serão todos os reais menos o "0". Ou,em outras palavras: o domínio são todos os reais sem incluir o zero.
Note que um domínio como este você tem várias formas de representar. Veja algumas delas:

S = R - {0} .
ou
S = {x ∈ R | x ≠ 0}.
ou
S = (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

As formas acima são equivalentes e significam que o domínio da função y = (3x+3)/x são todos os Reais diferentes de "0".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.