Question

Determine o conjunto verdade das seguintes equações logarítmicas:
a) log de x na base 3 + log de x na base 9 = 3
b)log de x na base 5 + log de x na base 25=6
c) log de x na base 2 - log de x na base 16=3
d)log de (x+1) na base 2 + log de (x+1) na base 4=9/2

Answer 1

$log_3x + log_9x = 3 \\ \\ log_3x + \frac{1}{2}.log_3x = 3 \\ \\ log_3x + log_3 \sqrt{x} = 3 \\ log_3(x. \sqrt{x}) = 3 \\ x. \sqrt{x} = 3^3 \\ \\ \sqrt{x} = \frac{27}{x} \\ \\ x = ( \frac{27}{x} )^2 \\ \\ x = \frac{729}{x^2} \\ \\ x^2.x = 729 \\ x^3 = 729 \\ x = \sqrt[3]{729} \\ x = 9$

S = {9}

$Log_5x + log_{25}x = 6 \\ log_5x + \frac{1}{2}.log_5x = 6 \\ log_5(x. \sqrt{x}) = 6 \\ \\ \sqrt{x} = \frac{5^6}{x} \\ \\ x = \frac{5^{12} }{x^2} \\ \\ x^3 = 5^{12} \\ x = 5^4 = 625$

S {x ∈ IR/ x = 625}

$log_2x -log_{16}x = 3 \\ \\ log_2x - \frac{1}{4}.log_2x = 3 \\ \\ log_2(x. \sqrt[4]{x}) = 3 \\ \\ \sqrt[4]{x} = \frac{2^3}{x} \\ \\ x = \frac{2^{12} }{x^4} \\ \\ x^5 = 2^{12} \\ x = \sqrt[5]{2^{12} } = 4 \sqrt[5]{4} = 4^{ \frac{6}{5} }$


$log_2(x + 1) + log_4(x + 1) = \frac{9}{2} \\ \\ log_2(x + 1) + log_2 \sqrt{x + 1} = \frac{9}{2} \\ \\ (x + 1) (\sqrt{x + 1}) = \sqrt{2^9} \\ \\ \sqrt{x + 1} = \frac{16 \sqrt{2}}{x + 1} \\ \\ x + 1 = \frac{512}{x^2 + 2x + 1} \\ \\ (x^2 + 2x + 1)(x + 1) = 512 \\ x^3 + x^2 + 2x^2 + 2x + x + 1 = 512 \\ x^3 + 3x^2 + 3x - 511 = 0$

Eu realmente pensei que não iria chegar nesse nível, enfim, temos uma equação de terceiro grau. Para descobrir suas raízes, você testa todos os divisores do independente (o número que não tem "x"). No caso, vi aqui que 511 é divisível por 7, e vou testá-lo:

$x^3 + 3x^2 + 3x - 511 = 0 \\ (7)^3 + 3(7)^2 + 3(7) - 511 = 0 \\ 343 + 3.49 + 21 - 511 = 0 \\ 364 + 147 - 511 = 0 \\ 511 - 511 = 0 \\ 0 = 0$

Como deu 0, 7 é raiz da equação. Vou reduzi-lá ao segundo grau com briot Ruffini:

1   +3   +3   -511  | 7
_________________
1     10   73    0      

x²  + 10x + 73 = 0 

Agora é só fazer bhaskara e descobrir os demais valores possíveis para o conjunto solução:

$\Delta = b^2 - 4ac \\ \Delta = (10)^2 - 4(1)(73) \\ \Delta = 100 - 292 \\ \Delta = -192$

Sorte a nossa, não tem raízes reais além do 7, então o único conjunto solução dentro dos reais é o número 7.

S = {x ∈ IR/ x = 7}