Question

O diretor de uma orquestra percebeu que, com o ingresso a R$9, 00, em m´edia 300 pessoas assistem aos concertos e que, para cada redu¸c˜ao de R$1, 00 no pre¸co dos ingressos, o p´ublico aumenta de 100 espectadores. Qual deve ser o pre¸co do ingresso para que o lucro do diretor seja m´aximo?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Andressa, que a resolução NÃO é das mais simples.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que se o ingresso for de R$ 9,00 o público, em média, será de 300 pessoas pessoas assistentes do espetáculo. Nota-se que, para cada redução de R$ 1,00 no preço do ingresso, esse público aumenta de 100 pessoas assistentes do espetáculo. Com base nisso, pede-se qual deverá ser o preço do ingresso para que o lucro do diretor seja máximo.

ii) Veja: se para cada redução de R$ 1,00 o público aumenta de "100" pessoas, então inicialmente teremos que: (300 + 100*x) <---- que são as 300 pessoas que assistem ao espetáculo ao preço de R$ 9,00 aumentando em mais "100" pessoas ao preço de "x" no ingresso. Essa relação acima deverá multiplicar uma outra relação, que seria dada pelo preço atual (R$ 9,00) diminuído desse preço de "x". Então teremos a relação (9-x), que deverá multiplicar a primeira relação. Então vamos ter que a função receita da orquestra será dada por:

R(x) = (300+100x)*(9-x) ----- efetuando-se esse produto, vamos ter:
R(x) = 2.700 - 300x + 900x - 100x² ---- reduzindo os termos semelhantes e ordenando, iremos ficar assim:

R(x) = -100x² + 600x + 2.700 ----- Agora vamos igualar R(x) a zero, para resolver a equação. Fazendo isso, teremos:

-100x² + 600x + 2.700 = 0 ---- para facilitar a operacionalização, poderemos dividir ambos os membros por "100", com o que iremos ficar apenas com:

- x² + 6x + 27 = 0

Veja que o gráfico da equação acima vai ser uma parábola com a concavidade voltada pra baixo (pois o termo "a' é negativo: o termo "a" é o coeficiente de x²).E, assim, iremos ter um ponto de máximo, que será dado pelas coordenadas do vértice (xv; yv).Mas o que está sendo pedido é: qual deverá ser o preço do ingresso que deverá ser diminuído de R$ 9,00 (que é o preço atual do ingresso) para que a receita do diretor seja máxima.

Então veja que basta que apliquemos a fórmula do "x" do vértice (xv) da parábola. Lembre-se que o "x" do vértice (xv) é dado pela seguinte fórmula:

xv = - b/2a ---- substituindo-se "b" por "6" e "a" por "-1", teremos:
xv = -6/2*(-1)
xv = -6/-2 ---- como, na divisão, menos com menos dá mais, então teremos:
xv = 6/2
xv = 3 <--- Este deverá ser o valor a ser diminuído do preço atual do ingresso (R$ 9,00) a fim de que a receita do diretor seja máxima.
Então reduzindo R$ 3,00 dos R$ 9,00, teremos que:

9,00 - 3,00 = 6,00 <---- Esta é a resposta. Ou seja, o preço do ingresso, para que a receita do diretor seja máxima, será de R$ 6,00.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Para cada 1R$, 100 pessoas chegam na orquestra.

Lucro = (Preço do ingresso).(Media de pessoas)


                   Mais "100x" virão
                              ↑
y = (9 - x)(300 + 100x)
             ↓
  Quantos menos "x" pessoas vierem.


Fazendo a distributiva →
$L=9.300 + 9.100x-300x-100x^{2}$

$L=2700 + 900x-300x-100x^{2}$

$L=2700+600x-100x^{2}$

Organizando um pouco mais:

$L = -100x^{2}+600x+2700$

Como o A(-100) é negativo, a concavidade da parábola é para baixo, logo, o valor máximo de Y será encontrado a partir do X do vértice.


$X_{v} = \frac{-b}{2a}$

$X_{v}= \frac{-600}{-200}$

$X_{v} = 3$


Logo o desconto será de 3R$.

O preço do ingresso é 9, com o desconto de 3, o valor final é de:.


Valor final: R$6