Question

caso as derivadas parciais am(x,y)/ay e an(x,y)/ax sejam continuas em uma região retangular D, então a equação diferencial M(x,y)+ N(x,y)y'=0 é exata nessa região se, e somente se, am(x,y) / ay = an(x,y)/ax em todos dos pontos D (Çendell, palm III, 2016, p.77)
determine a solução particular da edo (x^2+y)dx+(x-2y)dy=0 na condição y (0)=1.

Answer 1

a reposta é a letra D

Answer 2

Temos como resposta a EDO da letra

$b)xy-y^2=-1-\dfrac{x^3}{3}$

Equação diferencial exata

Uma equação diferencial é uma equação que contém um ou mais termos. Envolve a derivada de uma variável (variável dependente) em relação à outra variável (variável independente). A equação diferencial para uma dada função pode ser representada na forma: f(x) = dy/dx onde “x” é uma variável independente e “y” é uma variável dependente.

A equação P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 é uma equação diferencial exata se existir uma função f de duas variáveis ​​x e y tendo derivadas parciais contínuas tal que a definição exata da equação diferencial é separada como segue

$u_x\left(x,y\right)=P\left(x,y\right)\:e\:u_y\left(x,y\right)=Q\left(x,y\right)$

Portanto, a solução geral da equação é u(x, y) = C. Onde “C” é uma constante arbitrária.

Assumindo as funções P(x, y) e Q(x, y) tendo as derivadas parciais contínuas em um domínio particular D, e a equação diferencial é exata se e somente se ela satisfaz a condição

$\begin{array}{l}\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}\end{array}$

Sendo assim podemos resolver da seguinte forma

$M\left(x,y\right)dy+N\left(x,y\right)dx=0$

$M\left(x,y\right)=x-2y\:e\:N\left(x,y\right)=y+x^2$

Devemos encontrar agora F(x,y)

$dF\left(x,y\right)=M\left(x,y\right)dy+N\left(x,y\right)dx$

$F\left(x,y\right)=\int \:N\left(x,y\right)dx=\int \:y+x^2dx=\frac{x^3}{3}+xy+C_y$

$\left(\dfrac{x^3}{3}+xy\right)_y^{'}=x$

$C_y=\int \:M\left(x,y\right)-\left(\dfrac{x^3}{3}+xy\right)_y^{'}dy=\int \:-2ydy=-y^2$

$F\left(x,y\right)=\dfrac{x^3}{3}+xy+C_y=-y^2+\dfrac{x^3}{3}+xy.\:Dai:\:xy-y^2=C-\dfrac{x^3}{3}$

Substituindo y(0) = 1

0 - 1 = C - 0

C = -1

Por fim

$xy-y^2=-1-\dfrac{x^3}{3}$

Saiba mais sobre EDO:https://brainly.com.br/tarefa/39093130

#SPJ2