Question

1. [2,5 pontos] Resolva a inequação LaTeX: \textstyle sen^2 x \geqslant \frac{1}{4}sen2x⩾14 com LaTeX: 0 \leqslant x \leqslant 2\pi0⩽x⩽2π. (sugestão: faça LaTeX: t = sen xt=senx e resolva LaTeX: \textstyle t^2 \geqslant \frac{1}{4}t2⩾14)

Answer 1

Utilizando a sugestão dada no enunciado, se substituirmos sen x por t, podemos resolver uma equação quadrática, que é mais fácil que a trigonométrica.
$senx = t \\ \\ t^2 \geq \dfrac{1}{4} \\ \\ t \geq \sqrt{\dfrac{1}{4}} \\ \\ |t| \geq \dfrac{1}{2}$

Portanto, o módulo de sen x deve ser maior ou igual a 1/2:|sen x| ≥ 1/2
Precisamos da função inversa do seno para encontrar o valor de x:$x = sen^{-1}(\dfrac{1}{2})$

O arco cujo seno é igual a 1/2 é π/6 e 5π/6, para 0 ≤ x ≤ π, e 7π/6 e 11π/6, para π < x ≤ 2π, pela tabela trigonométrica. Então π/6 ≤ x ≤ 5π/6 e 7π/6 ≤ x ≤ 11π/6.