Question

Determine uma equação da reta tangente à curva y2 - x3 = 0 que passa pelo ponto (2,4)

y= 4x + 4
y= -3x + 4
y= -4x -4
y= -4x + 4
y= 2x + 4

Answer 1

Boa noite,

O seu enunciado faz supor que a reta, cuja equação se procura, é tangente à curva no ponto (2 , 4).

Depois de fazer a derivação implícita da função da curva chego ao resultado

y = 3 / 2 x + 1 , para a reta tangente no ponto ( 2 , 4 )

Ao fazer representação gráfica verifico que a reta não é tangente no dito

ponto ( 2 , 4 ).

Só então me apercebi que o ponto ( 2 , 4 ) nem sequer pertence à curva.

y ² -  x ³ = 0

4 ² - 2 ³  = 0

⇔ 16 - 8 ≠  0

Quando se usa a derivada implícita, o que obtemos no fim, usando o ponto de tangência, é o declive (coeficiente angular) da reta tangente à curva num dito ponto.

Chegando a este impasse,  " perguntei " ao enunciado se podia me dizer se estava incorreto e aonde.

Procurei uma curva cuja função aceitasse que o ponto ( 2 , 4 ) lhe

pertencesse e cuja função fosse próxima da do enunciado.

Se usar a curva de função    y ² - x ^4  = 0

Calculando a derivada implícita

dy / dx (  y ² - x ^ 4  = 0 )

⇔ 2 y  y ' - 4 x ³ = 0

resolvendo em ordem a y' obtenho

y' = ( 4 x ³ ) / ( 2 y )

tomando as coordenadas do ponto ( 2 , 4 )

encontro o declive da reta ao calcular, substituindo

y' = ( 4 * 2 ³ ) / ( 2 * 4 ) 

⇔ y' = 4

Determinando a equação da reta através de

y - y 0  =  f ' ( x 0 ) * ( x - x 0 )      

onde x 0 = 2    e    y 0 = 4

y - 4 = 4 ( x - 2 )

⇔ y = 4 x - 8 + 4

⇔ y = 4 x - 4

Verificando graficamente, na realidade, esta reta é tangente à curva de

função   y ² - x ^4  = 0      no ponto ( 2 , 4 )

Que não é nenhuma das que se encontram no enunciado.

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Verificações

a) y = 4 x + 4 

ponto  ( 2, 4)

4 = 4 * 2 + 4 

⇔ 4 = 12        falso, ( 2 , 4 ) não pertence a esta reta

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b) y = - 3 x + 4

4 = - 3 * 2 + 4

⇔ 4 = - 2       falso , ( 2 , 4 ) não pertence a esta reta

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c) y = - 4 x -4

4 = - 4 * 2 - 4 

⇔ 4 = - 12   falso , ( 2 , 4 ) não pertence a esta reta 

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d) y = - 4 x + 4

4 = - 4 * 2 + 4

4 = - 4         falso , ( 2 , 4 ) não pertence a esta reta

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e) y = 2x + 4

4 = 2 * 2 + 4

⇔ 4 = 8    falso , ( 2 , 4 ) não pertence a esta reta
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Como pode constatar nem o ponto pertence a nenhuma das retas dadas

como possíveis soluções, nem o ponto pertence à curva.

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Espero ter ajudado.

Agradecia seu feedback sobre este problema.

Por favor mande-me por mensagem. Obrigado.