Question

Dado um plano α de equação x + 2y – 3z + 10 = 0, e uma reta r perpendicular
ao plano α, e que passa por um ponto A = (3, 2, 1) do espaço, determine:

a) A equação vetorial paramétrica da reta r.
b) O ponto P de intersecção da reta r com o plano α.
c) Determine o ponto I de intersecção do plano com o eixo dos Y.

Answer 1

Olá

a) Como a reta r é perpendicular ao plano, então a mesma é paralela ao vetor normal do plano.

O vetor normal do plano é n = (1,2,-3)

Como a reta r passa pelo ponto A(3,2,1), então a equação paramétrica da reta r é:

  {x = 3 + t
r:{y = 2 + 2t  , t ∈ Z 
  {z = 1 - 3t

b) Para calcularmos o ponto de interseção, basta substituir os valores de x, y e z da equação dada anteriormente na equação do plano:

x + 2y - 3z + 10 = 0
3 + t + 2(2 + 2t) - 3(1 - 3t) + 10 = 0
3 + t + 4 + 4t - 3 + 9t + 10 = 0
14 t = -14
t = -1

Portanto, 

x = 3 - 1 = 2
y = 2 + 2.(-1) = 0
z = 1 - 3.(-1) = 4

O ponto de interseção é P(2,0,4)

c) Agora para determinarmos o ponto I de interseção do plano com o eixo Y teremos que fazer x = 0 e z = 0, ou seja, 

2y + 10 = 0
2y = -10
y = -5

Portanto, o ponto de interseção é I(0,-5,0)