Question

Determine o polígono convexo cuja a soma dos ângulos internos é igual ao número de diagonais multiplicado por 180

Answer 1

A fórmula para a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por:
S = 180.(n - 2)
E a fórmula para o número de diagonais num polígono de n lados é dada por:
D = n(n - 3)/2

Portanto, basta igualarmos S = 180D.
180.(n - 2) = 180.n(n - 3)/2
n - 2 = n(n - 3)/2
2n - 4 = n² - 3n
n² - 3n = 2n - 4
n² - 5n + 4 = 0
Agora, podemos resolver a equação por soma e produto das raízes:
n1n2 = +4
n1 + n2 = 5
fatores de 4: 4, 2, 1, -1, -2, -4.
O único par então que soluciona a equação é 4 e 1. Já que não existe polígono convexo com apenas 1 lado, então o polígono deve ter 4 lados.
Portanto, o polígono convexo que satisfaz tais condições é o quadrilátero.